а)  Пусть АВ  — диа­метр боль­шей из трёх окруж­но­стей, О  — её центр, O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са r у ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром АВ в точке А, O₂  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са R, ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром АВ в точке С, окруж­но­сти с цен­тром O₁  — в точке D, от­рез­ка АВ  — в точке Е. Точки О, O₂ и С лежат на одной пря­мой, по­это­му OO₂  =  ОС − O₂С  =  ОС − R. Ана­ло­гич­но ОО₁  =  OA − О₁А  =  ОА − r и O₁O₂  =  O₁D + O2D  =  r + R. Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка OO₁O₂ равен

б)  Пусть OA  =  4, r  =  1. Тогда по­лу­ча­ем: O₂Е  =  R, O₁O₂  =  1 + R, OO₁  =  OA − О₁А  =  4 − 1  =  3, OO₂  =  ОС − O₂С  =  4 − R. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков O₁O₂Е и OO₂Е на­хо­дим, что

а по­сколь­ку

По­лу­чен­ное урав­не­ние не имеет кор­ней, что озна­ча­ет, что дан­ная кон­фи­гу­ра­ция не­воз­мож­на.

Рас­смот­рим слу­чай, когда точка Е лежит между точ­ка­ми О и А. В этом слу­чае О₁E  =  OO₁ − ОЕ, то есть Из этого урав­не­ния на­хо­дим, что

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Наиля Му­си­на.

Пусть ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти равен R. Рас­смот­рим тре­уголь­ник OO₁O₂:

По до­ка­зан­но­му в пунк­те а) пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка OO₁O₂ равен 8. Най­дем пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Ге­ро­на:

За­ме­тим, что ра­ди­ус R тре­тьей окруж­но­сти яв­ля­ет­ся вы­со­той дан­но­го тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но,