Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 517532
i

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O1 и O2 и ра­ди­у­са­ми 3 и 4 пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Через точку A про­ве­де­на пря­мая MK, пе­ре­се­ка­ю­щая обе окруж­но­сти в точ­ках M и K, при­чем точка A на­хо­дит­ся между ними.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки BMK и O1AO2 по­доб­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой MK, если O1O2  =  5, MK  =  7.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что \angle AO_2B цен­траль­ный, а O_1O_2  — его бис­сек­три­са, тогда \angle AKB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle AO_2B=\angle AO_2O_1     — впи­сан­ный угол. Ана­ло­гич­но \angle BMK=\angle AO_1O_2. \angle BMK=\angle AO_1O_2 и \angle MKB=\angle AO_2O_1, по­это­му по двум рав­ным углам \vartriangle AO_1O_2 и \vartriangle BMK по­доб­ны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что AO_1 в квад­ра­те плюс AO_2 в квад­ра­те =O_1O_2 в квад­ра­те верно, по­сколь­ку 9 плюс 16=25, тогда по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, \vartriangle AO_1O_2 пря­мо­уголь­ный, \angle A = 90 гра­ду­сов. Най­дем вы­со­ту \vartriangle AO_1O_2, про­ве­ден­ную из \angle A: h= дробь: чис­ли­тель: AO_1 умно­жить на AO_2, зна­ме­на­тель: O_1O_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . \vartriangle AO_1O_2\sim \vartriangle BMK, по­это­му ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен дробь: чис­ли­тель: MK, зна­ме­на­тель: O_1O_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой MK, рав­ное вы­со­те \vartriangle BMK, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны \angle B, равно про­из­ве­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия и вы­со­ты, про­ве­ден­ной из \angle A= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 84, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

 

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 84, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и си­сте­мы окруж­но­стей, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025