Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 24. Точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCDE.

Ост­рый угол В пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 65°. Най­ди­те угол между вы­со­той СН и ме­ди­а­ной СМ, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из ее диа­го­на­лей.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Даны век­то­ры Най­ди­те длину век­то­ра

Даны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Одна ци­лин­дри­че­ская круж­ка вдвое выше вто­рой, зато вто­рая в пол­то­ра раза шире. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма вто­рой круж­ки к объ­е­му пер­вой.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся вер­ши­ны A, B, C, D, A₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁, у ко­то­ро­го AB  =  3, AD  =  9, AA₁  =  4.

В со­су­де, име­ю­щем форму ко­ну­са, уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет вы­со­ты. Объём жид­ко­сти равен 4 мл. Сколь­ко мил­ли­лит­ров жид­ко­сти нужно до­лить, чтобы пол­но­стью на­пол­нить сосуд?

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна Най­ди­те ра­ди­ус сферы.

В груп­пе ту­ри­стов 50 че­ло­век. Их вер­толётом в не­сколь­ко приёмов за­бра­сы­ва­ют в труд­но­до­ступ­ный район по 5 че­ло­век за рейс. По­ря­док, в ко­то­ром вер­толёт пе­ре­во­зит ту­ри­стов, слу­ча­ен. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ту­рист Г. по­ле­тит пер­вым рей­сом вер­толёта.

Из рай­он­но­го цен­тра в де­рев­ню еже­днев­но ходит ав­то­бус. Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се ока­жет­ся мень­ше 20 пас­са­жи­ров, равна 0,94. Ве­ро­ят­ность того, что ока­жет­ся мень­ше 15 пас­са­жи­ров, равна 0,56. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что число пас­са­жи­ров будет от 15 до 19.

На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли учёные из трёх стран: 3 из Дании, 4 из Вен­грии и 3 из Бол­га­рии. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что седь­мым ока­жет­ся до­клад учёного из Бол­га­рии.

По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с тремя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния одной лампы в те­че­ние года равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

В ко­роб­ке 5 синих, 9 крас­ных и 11 зелёных фло­ма­сте­ров. Слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ют два фло­ма­сте­ра. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ока­жут­ся вы­бра­ны один синий и один крас­ный фло­ма­сте­ры.

При вы­печ­ке хлеба про­из­во­дит­ся кон­троль­ное взве­ши­ва­ние све­жей бу­хан­ки. Из­вест­но, что ве­ро­ят­ность того, что масса ока­жет­ся мень­ше, чем 810 г, равна 0,95. Ве­ро­ят­ность того, что масса ока­жет­ся боль­ше, чем 790 г, равна 0,84. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что масса бу­хан­ки боль­ше, чем 790 г, но мень­ше, чем 810 г.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся во вто­ром ав­то­ма­те, такая же. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в двух ав­то­ма­тах, равна 0,18. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в двух ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ши­те урав­не­ние Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции   — опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−12; 12). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−6; 11].

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­но де­сять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. Сколь­ко из этих точек при­над­ле­жит про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния функ­ции f(x)?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y  =  f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Мо­то­цик­лист, дви­жу­щий­ся по го­ро­ду со ско­ро­стью  км/ч, вы­ез­жа­ет из него и сразу после вы­ез­да на­чи­на­ет раз­го­нять­ся с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем  км/ч². Рас­сто­я­ние от мо­то­цик­ли­ста до го­ро­да, из­ме­ря­е­мое в ки­ло­мет­рах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где t  — время в часах. Опре­де­ли­те наи­боль­шее время, в те­че­ние ко­то­ро­го мо­то­цик­лист будет на­хо­дить­ся в зоне функ­ци­о­ни­ро­ва­ния со­то­вой связи, если опе­ра­тор га­ран­ти­ру­ет по­кры­тие на рас­сто­я­нии не далее чем в 72 км от го­ро­да. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

Перед от­прав­кой теп­ло­воз издал гудок с ча­сто­той  Гц. Чуть позже издал гудок подъ­ез­жа­ю­щий к плат­фор­ме теп­ло­воз. Из-за эф­фек­та До­пле­ра ча­сто­та вто­ро­го гудка f боль­ше пер­во­го: она за­ви­сит от ско­ро­сти теп­ло­во­за по за­ко­ну  (Гц), где c  — ско­рость звука (в м/с). Че­ло­век, сто­я­щий на плат­фор­ме, раз­ли­ча­ет сиг­на­лы по тону, если они от­ли­ча­ют­ся не менее чем на 5 Гц. Опре­де­ли­те, с какой ми­ни­маль­ной ско­ро­стью при­бли­жал­ся к плат­фор­ме теп­ло­воз, если че­ло­век смог раз­ли­чить сиг­на­лы, а  м/с. Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a км/ч ². Ско­рость вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь. Най­ди­те уско­ре­ние, с ко­то­рым дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы, про­ехав 0,5 ки­ло­мет­ра, при­об­ре­сти ско­рость 70 км/ч. Ответ вы­ра­зи­те в км/ч².

От при­ста­ни A к при­ста­ни B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 323 км, от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 2 часа после этого сле­дом за ним, со ско­ро­стью на 2 км/⁠ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но. Ответ дайте в км/ч.

Сме­шав 45-про­цент­ный и 97-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 62-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 72-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 45-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 5 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 104 литра она за­пол­ня­ет на 5 минут доль­ше, чем вто­рая труба?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те f(30).

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций видов и пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(5).

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MN и пе­ре­се­ка­ет ребро BC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на рёбрам AB и CD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра ABCD плос­ко­стью α, если из­вест­но, что и

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD. Плос­кость α про­хо­дит через ребро AB и пе­ре­се­ка­ет ребра SC и SD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 800 тысяч руб­лей на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года (r  —  целое число);

—  с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

— в июле 2030 года долг дол­жен со­став­лять 200 тыс. руб.;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2035 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если общая сумма вы­плат по кре­ди­ту со­ста­ви­ла 1480 тыс. руб.

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит раз­ме­ром A мил­ли­о­нов руб­лей на 24 ме­ся­ца. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца сумма долга воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2028 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно A, если общая сумма пла­те­жей в 2028 году со­ста­вит 17 925 тысяч руб­лей?

Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину диа­го­на­ли BE, если

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD c ост­рым углом BAD из вер­ши­ны B про­ве­де­ны вы­со­ты BP и BQ, при­чем точка P лежит на сто­ро­не AD, а точка Q  — на сто­ро­не CD. На сто­ро­не AD от­ме­че­на точка M. Из­вест­но, что AM  =  BP, AB  =  BQ.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  PQ.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ, если AM  =  BP  =  8, AB  =  BQ  =  10.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Из пары на­ту­раль­ных чисел (a; b), где за один ход по­лу­ча­ют пару (a + b; a – b).

а)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов по­лу­чить из пары (100; 1) пару, боль­шее число в ко­то­рой равно 400?

б)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов по­лу­чить из пары (100; 1) пару (806; 788)?

в)  Какое наи­мень­шее a может быть в паре (a; b), из ко­то­рой за не­сколь­ко ходов можно по­лу­чить пару (806; 788)?

На доске на­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых че­ты­рех или пяти чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

а)  Могут ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел од­но­вре­мен­но быть числа 403 и 2013?

б)  Может ли одно из за­пи­сан­ных на доске чисел быть квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа, если среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 403?

в)  Из­вест­но, что среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 1 и квад­рат на­ту­раль­но­го числа n, боль­ше­го 1. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.