Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 24. Точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCDE.

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC, угол C равен 134°. Най­ди­те внеш­ний угол CBD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из ее диа­го­на­лей.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Даны век­то­ры Най­ди­те длину век­то­ра

Одна ци­лин­дри­че­ская круж­ка вдвое выше вто­рой, зато вто­рая в пол­то­ра раза шире. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма вто­рой круж­ки к объ­е­му пер­вой.

Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

В со­су­де, име­ю­щем форму ко­ну­са, уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет вы­со­ты. Объём жид­ко­сти равен 4 мл. Сколь­ко мил­ли­лит­ров жид­ко­сти нужно до­лить, чтобы пол­но­стью на­пол­нить сосуд?

В груп­пе ту­ри­стов 20 че­ло­век. С по­мо­щью жре­бия они вы­би­ра­ют 7 че­ло­век, ко­то­рые долж­ны идти в село в ма­га­зин за про­дук­та­ми. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ту­рист Д., вхо­дя­щий в со­став груп­пы, пойдёт в ма­га­зин?

Из рай­он­но­го цен­тра в де­рев­ню еже­днев­но ходит ав­то­бус. Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се ока­жет­ся мень­ше 20 пас­са­жи­ров, равна 0,94. Ве­ро­ят­ность того, что ока­жет­ся мень­ше 15 пас­са­жи­ров, равна 0,56. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что число пас­са­жи­ров будет от 15 до 19.

По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с тремя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния одной лампы в те­че­ние года равна 0,2. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

В ко­роб­ке 5 синих, 9 крас­ных и 11 зелёных фло­ма­сте­ров. Слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ют два фло­ма­сте­ра. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ока­жут­ся вы­бра­ны один синий и один крас­ный фло­ма­сте­ры.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ши­те урав­не­ние Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния если

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­но де­сять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. Сколь­ко из этих точек при­над­ле­жит про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния функ­ции f(x)?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Перед от­прав­кой теп­ло­воз издал гудок с ча­сто­той  Гц. Чуть позже издал гудок подъ­ез­жа­ю­щий к плат­фор­ме теп­ло­воз. Из-за эф­фек­та До­пле­ра ча­сто­та вто­ро­го гудка f боль­ше пер­во­го: она за­ви­сит от ско­ро­сти теп­ло­во­за по за­ко­ну  (Гц), где c  — ско­рость звука (в м/с). Че­ло­век, сто­я­щий на плат­фор­ме, раз­ли­ча­ет сиг­на­лы по тону, если они от­ли­ча­ют­ся не менее чем на 5 Гц. Опре­де­ли­те, с какой ми­ни­маль­ной ско­ро­стью при­бли­жал­ся к плат­фор­ме теп­ло­воз, если че­ло­век смог раз­ли­чить сиг­на­лы, а  м/с. Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 143 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Сме­шав 45-про­цент­ный и 97-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 62-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 72-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 45-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 5 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 104 литра она за­пол­ня­ет на 5 минут доль­ше, чем вто­рая труба?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций видов и пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MN и пе­ре­се­ка­ет ребро BC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на рёбрам AB и CD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра ABCD плос­ко­стью α, если из­вест­но, что и

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 800 тысяч руб­лей на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года (r  —  целое число);

—  с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

— в июле 2030 года долг дол­жен со­став­лять 200 тыс. руб.;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2035 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если общая сумма вы­плат по кре­ди­ту со­ста­ви­ла 1480 тыс. руб.

Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину диа­го­на­ли BE, если

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Из пары на­ту­раль­ных чисел (a; b), где за один ход по­лу­ча­ют пару (a + b; a – b).

а)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов по­лу­чить из пары (100; 1) пару, боль­шее число в ко­то­рой равно 400?

б)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов по­лу­чить из пары (100; 1) пару (806; 788)?

в)  Какое наи­мень­шее a может быть в паре (a; b), из ко­то­рой за не­сколь­ко ходов можно по­лу­чить пару (806; 788)?