Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Из вер­ши­ны С пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CH.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние пло­ща­дей кру­гов, по­стро­ен­ных на от­рез­ках AH и BH со­от­вет­ствен­но как на диа­мет­рах равно тан­генс в сте­пе­ни 4 \angle ABC.

б)  Пусть точка O1  — центр окруж­но­сти диа­мет­ра AH, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ю­щей от­ре­зок AC в точке P, а точка O2  — центр окруж­но­сти с диа­мет­ром BH, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ю­щей от­ре­зок BC в точке Q. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка O1PQO2, если AC=22, BC=18.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Вы­со­та CH, про­ведённая из пря­мо­го угла, равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AH умно­жить на HB конец ар­гу­мен­та . От­но­ше­ние пло­ща­дей кру­гов равно дробь: чис­ли­тель: AH в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: HB в квад­ра­те конец дроби . Тан­генс угла  ABC равен дробь: чис­ли­тель: CH, зна­ме­на­тель: HB конец дроби , то есть тан­генс в сте­пе­ни 4 \angle ABC= дробь: чис­ли­тель: CH в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: HB в сте­пе­ни 4 конец дроби . Под­ста­вим CH в фор­му­лу тан­ген­са четвёртой сте­пе­ни:

тан­генс в сте­пе­ни 4 \angle ABC= дробь: чис­ли­тель: AH в квад­ра­те умно­жить на HB в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: HB в сте­пе­ни 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AH в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: HB в квад­ра­те конец дроби .

б)  Углы \angle PCQ = \angle CPH =\angle CQH =90 гра­ду­сов, по­это­му CPHQ  —  пря­мо­уголь­ник. За­ме­тим, что пло­щадь ис­ко­мо­го четырёхуголь­ни­ка со­сто­ит из суммы пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков HPO1, PHQ и HQO2. Более того, пло­ща­ди этих фигур яв­ля­ют­ся по­ло­ви­на­ми пло­ща­дей APH, PHQC и HQB со­от­вет­ствен­но. Таким об­ра­зом, S_O_1PQO_2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби 22 умно­жить на 18=99.

 

Ответ: б) 99.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и си­сте­мы окруж­но­стей, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025