Дана окружность с диаметром AB. Вторая окружность с центром в точке А пересекает первую окружность в точках С и D, а диаметр AB в точке E. На дуге СЕ, не содержащей точки D, взята точка M, отличная от точек С и E. Луч BM пересекает первую окружность в точке N, а вторую в точке M1.
а) Докажите, что точка N — середина отрезка MM1.
б) Найдите длину отрезка MN, если известно, что CN = 6, DN = 13,5.
а) Заметим, что угол ANB прямой, так как опирается на диаметр AB первой окружности. Следовательно, отрезок AN — высота треугольника AMM1. При этом
треугольник равнобедренный, следовательно, отрезок AN является также медианой этого треугольника, а значит, 
Что требовалось доказать.
б) Заметим, что дуги CB и BD равны, значит, 
Пусть DN пересекает вторую окружность в точке C1. Из симметрии заключаем, что 
следовательно, 
(последнее равенство вытекает из свойств вписанных углов). Тогда треугольники CMN и MDN подобны, значит, 
то есть 
откуда MN = 9.
Ответ: б) 9.