Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 510102

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.

Решение.

а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.

б) Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

OH= корень из { OB в степени 2 минус BH в степени 2 }= корень из { 100 минус 64}=6.

Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

OF = OHFH = OHQP = 6 − 5 = 1,

PH2 = QF2 = QO2OF2 = 25 − 1 =24,

OP2 = OH2 + PH2 = 36 + 24 = 60,

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

AP= корень из { OA в степени 2 минус OP в степени 2 }= корень из { 100 минус 60}=2 корень из { 10}.

Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,

AL= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AP= корень из { 10}.

 

Ответ: б)  корень из { 10}.

 

Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).

а) Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда \angle TAB=\angle ACB и  \angle TAB=\angle AMK, поскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда \angle ACB=\angle AMK. равны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.

б) По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM — средняя линия треугольника ABC, и AL= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AP по теореме Фалеса. Осталось найти .

Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рисунок справа). Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что OH= корень из { OB в степени 2 минус BH в степени 2 }= корень из { 100 минус 64}=6.

Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: OP:OH=OA:OP, то есть OP:6=10:OP. Следовательно, OP= корень из { 60}. По теореме Пифагора, AP= корень из { 40}. Окончательно получаем: AL= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AP= корень из { 10}.


Аналоги к заданию № 510102: 519907 Все

Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2015
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Игорь Кушнаренко 04.04.2016 20:48

Решение "сыпется", если концы хорды ВС расположить по разные стороны от диаметра (ОА). Тогда ОН, по-прежнему равный 6 из теоремы Пифагора, будет по чертежу меньше, чем параллельный ему радиус QP=5 меньшей окружности

Константин Лавров

Да, Ваше рассуждение доказывает, что этот случай невозможен.

Борис Синицын 11.07.2016 18:11

По­че­му К се­ре­ди­на АВ при усло­вии,что ОК пер­пен­ди­ку­ляр? Что за свой­ство?

Борис Синицын

Свой­ство вы­со­ты рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Тре­уголь­ник ОАВ - рав­но­бед­рен­ный, ОК - его вы­со­та, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию