К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B. Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE — другой.
а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а AC = 8.
а) Пусть O1 — центр окружности, которая касается отрезка CD, O2 — центр окружности, которая касается отрезка CE, R — радиус окружностей. Окружность с центром O1 касается отрезка CD в точке K, а прямой DE — в точке M; окружность с центром O2 касается отрезка CE в точке L, а прямой DE — в точке N (рис. 1).
Получаем, что AO1O2B и MO1O2N — прямоугольники, следовательно, AB = O1O2 и MN = O1O2.
По свойству касательных CA = CK, DM = DK, CB = CL, EL = EN.
Тогда периметр треугольника CDE
б) Точка O1 лежит на биссектрисах углов MDC и ACD (рис. 2), следовательно,
В прямоугольном треугольнике CO1D имеем:
Аналогично 
Получаем, что
Ответ: 12,375.