Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 511162

На диаметре АВ окружности ω выбрана точка С. На отрезках АС и ВС как на диаметрах построены окружности ω1 и ω2 соответственно. Прямая l пересекает окружность ω в точках А и D, окружность ω1 — в точках А и Е, а окружность ω2 — в точках М и N.

а) Докажите, что MD = NE.

б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей ω, ω1 и ω2, если известно, что АС = 10, ВС = 6.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что \angle AEC=\angle ADB=90 градусов (опираются на диаметры), следовательно, четырехугольник CEDB — прямоугольная трапеция (см. левый рис.). Пусть точка O2 — центр ω2, точка P — середина MN, тогда отрезок O2P является высотой равнобедренного треугольника MO2N. Отрезки O2P и MN взаимно перпендикулярны и отрезки O2P и CE параллельны, значит, точка P — середина отрезка ED. Следовательно, EM=ND, что требовалось доказать.

б) Пусть искомая окружность касается ω в точке O3 и имеет радиус r (см. правый рис). Используя теорему косинусов для треугольников O1O2O3 и OO2O3, найдем в каждом из них косинус их общего угла O2 и приравняем полученные выражения:

 дробь: числитель: 8 в квадрате плюс левая круглая скобка r плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка r плюс 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 умножить на 8 умножить на левая круглая скобка r плюс 3 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 5 в квадрате плюс левая круглая скобка r плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 8 минус r правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 умножить на 5 умножить на левая круглая скобка r плюс 3 правая круглая скобка конец дроби равносильно
 равносильно 5 левая круглая скобка 8 в квадрате плюс левая круглая скобка r плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка r плюс 5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка = 8 левая круглая скобка 5 в квадрате плюс левая круглая скобка r плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 8 минус r правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка равносильно 240 минус 20 r = 176 r минус 240 равносильно r = дробь: числитель: 120, знаменатель: 49 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 120, знаменатель: 49 конец дроби .

 

Примечание.

В пункте б) можно было иначе применить теорему косинусов: косинус смежных углов O1OO3 и O2OO3 противоположны, поэтому

 косинус \angle O_1OO_3= дробь: числитель: 3 в квадрате плюс левая круглая скобка 8 минус r правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 5 плюс r правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 умножить на 3 умножить на 8 конец дроби = минус косинус \angle O_3OO_2= минус дробь: числитель: левая круглая скобка 8 минус r правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в квадрате минус левая круглая скобка 3 плюс r правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 умножить на левая круглая скобка 8 минус r правая круглая скобка умножить на 5 конец дроби ,

тогда

5 левая круглая скобка 3 в квадрате плюс левая круглая скобка 8 минус r правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 5 плюс r правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка = минус 3 левая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус r правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в квадрате минус левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно
 равносильно 5 левая круглая скобка 48 минус 26r правая круглая скобка = минус 3 левая круглая скобка 80 минус 22r правая круглая скобка равносильно 5 левая круглая скобка 24 минус 13r правая круглая скобка = 3 левая круглая скобка 11r минус 40 правая круглая скобка равносильно r = дробь: числитель: 120, знаменатель: 49 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошибки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошибки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не выполнен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 111.