Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.
а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому
Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.
б) Пусть точка O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM взаимно перпендикулярны. Прямые BK и AM также взаимно перпендикулярны. Таким образом, прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом 5, поэтому OB = OM = 5x. Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Четырёхугольник BKMP — прямоугольник, поэтому получаем:
По теореме Пифагора OB2 = BP2 + OP2, откуда 25x2 = 144 + 16x2. Получаем, что x = 4. Поскольку прямые AD и MC параллельны, имеем:
Значит, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,
Ответ: 30.