Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной D в точке E и пересекает вторую сторону в точках A и B (точка A лежит между B и D). В окружности проведён диаметр AC.
а) Докажите, что отрезок BC вдвое больше отрезка DE.
б) Найдите расстояние от точки E до прямой AC, если AD = 4 и AB = 5.
a) Пусть O — центр окружности, а прямая EO пересекает BC в точке Q. Радиус OE перпендикулярен касательной DE, следовательно, прямые EO и AB параллельны. Вписанный угол ABC прямой. Значит, прямые CB и ED параллельны. Четырёхугольник BQED — прямоугольник. Отрезок OQ — перпендикуляр к хорде BC. Значит, Q — середина BC. Тогда
б) По теореме о касательной и секущей:
откуда DE = 6. Тогда 
По теореме Пифагора:
откуда 
Так как AC — диаметр окружности, углы ABC и AEC прямые. Поэтому
откуда AC = 13, значит,
Перпендикуляр EH, опущенный из точки E на прямую AC, — высота прямоугольного треугольника AEC, проведённая из вершины прямого угла, следовательно,
Ответ: б) 6.
Приведем решение пункта б) Андрея Субаева.
Отрезки OE и OC равны как радиусы окружности. Углы EOH и COQ равны как вертикальные. Угол CQO прямой по доказанному в пункте а). Тогда прямоугольные треугольники OEH и OCQ равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, EH = CQ.
По теореме о касательной и секущей:
откуда DE = 6. Тогда По доказанному в пункте а) точка Q — середина BC, тогда EH = QC = 6.
Приведем решение пункта б) Вадима Степанюка.
По теореме о касательной и секущей откуда DE = 6. Тогда В треугольнике ABC по теореме Пифагора 
откуда AC = 13, а тогда AO = EO = 6,5.
Выразим площадь треугольника AEO двумя способами: 
тогда
