Окружности ω1 и ω2 радиусов 4 и 1 соответственно касаются внешним образом в точке А. Через точку В, лежащую на окружности ω1, проведена прямая, касающаяся окружности ω2 в точке М.
а) Докажите, что отношение отрезков прямой АВ, отсекаемых окружностями, равно отношению их радиусов.
б) Найдите ВМ, если известно, что AB = 2.
а) Пусть C — вторая точка пересечения прямой AB и окружности ω2, и пусть точки O1 и O2 — центры окружностей. Тогда треугольники O1AB и O2AC подобны, поскольку
как вертикальные и
Значит, 
Что и требовалось доказать.
б) По теореме о квадрате касательной 
Из пункта а) следует, что
Тогда 
откуда 
Следовательно, 
Ответ: б) 
Примечание к пункту б).
Из точки В можно провести две касательные к окружности ω2. Приведенные рассуждения не зависят от положения точки М на окружности, а потому сохраняют свою силу для любой из касательных.
Существует вторая точка касания, но отрезки касательных от точки B до окружности равны, поэтому второй вариант не рассматриваем. Но замечание я бы сделал.