Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку P проведена касательная к первой из этих окружностей, пересекающая вторую окружность в точке L, а через точку Q проведена касательная ко второй окружности, пересекающая первую окружность в точке M.
а) Докажите, что прямые PM и QL параллельны.
б) Найдите наименьшее возможное значение суммы длин отрезков PM и QL, если PQ = 1.
а) Проведем отрезок PQ (см. рис.). По теореме об угле между касательной и хордой получаем, что
а 
Тогда
По признаку параллельности прямых прямые MP и QL параллельны.
б) Пусть 
из подобия треугольников MPQ и PQL получаем, что 
откуда 
Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом получаем:
Равенство достигается при 
Таким образом, 
Ответ: б) 2.