1. Тип 13 № 507595 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
б) Отберём с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 507595
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
или 
где 
находим: 
где 
б) 
Получим числа: 
б) 
получим число 
б) 
б) 
Получим числа: 
б)
корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
б) 
и введем обозначение 
Имеем: 
б) 
получим квадратное уравнение 
корнями которого являются числа 
и 
Уравнение 
не имеет решений, а из уравнения 
находим корни 
или 
Решим неравенства:
откуда 
или 
и 
б) 
Получим число 
б) 
Поэтому уравнение можно переписать в виде 
откуда 
Значит, либо 
откуда 
либо 
откуда 
б) 
б) 
Тогда получаем:
Получим числа 
б) 
б) 
корней не имеет. Значит, 
откуда 
или 
Получим число 
б) 
и 
б) 
и 
имеем: 
изображаются точками 
— точками 
изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: 
и 
б) 
Далее имеем: 
б) 
б) 
удовлетворяют числа 
и 
б) 
— уравнение не имеет корней, или 
откуда 
или 
б) 
тогда 
б) 
принадлежат корни 
и 
(см. рис.).
б) 
тогда уравнение запишется в виде:
и 
б) 
Из неё следует, что 
Поэтому уравнение можно преобразовать так:
б) 
б) 
и 
б) 
Получим числа: 
б) 
б) 
откуда 
или 
Уравнение 
корней не имеет.
Получим числа: 
б) 
и 
б) 
б)
б)
б)
тогда уравнение примет вид 
откуда t = 1 или t = 2. Далее имеем:
лежат числа 
б) 
б) 
уравнение можно записать в виде
б) 
или 
а значит, 
или 
отберём с помощью
б) 
не удовлетворяют условию 
Тогда получаем:
с помощью единичной окружности. Получаем 
б) 
б) 
и 
б) 
решив неравенство:
б) 
б) 
б) 
и преобразуем получившееся уравнение:
и 0.
б) 
0.
корней не имеет. Значит, 
б) 
и 
б) 
б) 
б) 
по формуле двойного угла 
откуда получаем:
длиной 1,5π может лежать не более двух членов серии. Это числа 
и 
б) π, 
2π.
б) 
Следовательно, 
при 
б) 
0, 
б) 
Получаем 
следовательно, y = 1 или y = −2. Значит, 
то есть 
откуда следует, что 
или 
то есть 
откуда следует, что 
или 
Получаем: 
б) 
с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: 
б) 
то есть числа 
удовлетворяют уравнению. При прочих х разделим обе части уравнения на 
Получаем:
отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). На интервале лежат три решения: 
и 
б) 
исходное уравнение эквивалентно уравнению:
и 
б) 
заметим, что должно выполняться условие 
Преобразуем уравнение при этом условии:
б) 
б) 
тогда получим:
с помощью двойных неравенств:
и 
б) 
б) 
б) 
при помощи тригонометрической окружности. Получаем: 
б) 
тогда
и формулу косинуса двойного угла 
получаем:
