Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 507583
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние: 4 синус в сте­пе­ни 4 2x плюс 3 ко­си­нус 4x минус 1=0.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой синус в квад­ра­те y= дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 2y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Из неё сле­ду­ет, что синус в сте­пе­ни 4 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те 4x минус 2 ко­си­нус 4x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­это­му урав­не­ние можно пре­об­ра­зо­вать так:

ко­си­нус в квад­ра­те 4x минус 2 ко­си­нус 4x плюс 1 плюс 3 ко­си­нус 4x минус 1= 0 рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те 4x плюс ко­си­нус 4x = 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 4x = минус 1, ко­си­нус 4x = 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 4x = Пи плюс 2 Пи k,4x= дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 плюс Пи k,k при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i4 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка x= дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i8 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , левая круг­лая скоб­ка ** пра­вая круг­лая скоб­ка конец со­во­куп­но­сти .k при­над­ле­жит Z .

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му от­рез­ку.

 

По­лу­чим: x= дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; x= дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i4 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i8 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние пунк­та а.

4 синус в сте­пе­ни 4 2x плюс 3 ко­си­нус 4x минус 1=0 рав­но­силь­но 4 синус в сте­пе­ни 4 2x плюс 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1=0 рав­но­силь­но 4 синус в сте­пе­ни 4 2x минус 6 синус в квад­ра­те 2x плюс 2=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 2 синус в сте­пе­ни 4 2x минус 3 синус в квад­ра­те 2x плюс 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус в квад­ра­те 2x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус в квад­ра­те 2x =1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус 2x=\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус 2x=\pm1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь
Cтепан Киселёв 20.12.2016 19:56

Если ис­поль­зо­вать вме­сто той фор­му­лы, фор­му­лу 3cos4x=3(1-2sin^2 2x), то ответ со­всем дру­гой вы­хо­дит.

Александр Иванов

Сте­пан! Ука­зан­ная Вами фор­му­ла пра­виль­ная. Если, ис­поль­зуя ее, ре­шать без оши­бок, то по­лу­чат­ся такие же от­ве­ты.

Наиль Фаттахов 11.03.2017 21:22

если ис­поль­зо­вать фор­му­лу Сте­па­на, то по­лу­ча­ют­ся два урав­не­ния: sin2x=+-1 и sin2x=+-1/sqrt(2)

И сов­па­да­ют от­ве­ты по части б), а вот от­ве­ты по части а - не сов­па­да­ют?

Александр Иванов

От­ве­ты сов­па­да­ют и в пунк­те а и в пунк­те б.



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025