Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3 Пи плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 ко­си­нус x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = 0.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 6 Пи ; 8 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Упро­стим зна­ме­на­тель пер­вой дроби:

ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3 Пи плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка Пи плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = ко­си­нус в квад­ра­те x.

Обо­зна­чим t = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­си­нус x, тогда

t в квад­ра­те минус ко­рень из 2 t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 14 t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = 0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 14 пра­вая круг­лая скоб­ка t плюс ко­рень из 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 14 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t = ко­рень из 2 , t = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 14. конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 14, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­си­нус x = ко­рень из 2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x = минус 14, ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . \underset | ко­си­нус x| мень­ше или равно 1 \mathop рав­но­силь­но ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 6 Пи ; 8 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , от­бе­рем при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа дробь: чис­ли­тель: 25 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 31 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 25 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 31 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 509
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Фор­му­лы при­ве­де­ния, пе­ри­о­дич­ность три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026