Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  синус в квад­ра­те 2x= ко­си­нус 2x плюс 4 синус в сте­пе­ни 4 x.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Решим урав­не­ние:

 синус в квад­ра­те 2x= ко­си­нус 2x плюс 4 синус в сте­пе­ни 4 x рав­но­силь­но 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те 2x= ко­си­нус 2x плюс левая круг­лая скоб­ка 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те 2x= ко­си­нус 2x плюс левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 2x=0, ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k,2x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис). Под­хо­дят:  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 391
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го ло­га­риф­ми­че­ско­го тож­де­ства, Фор­му­лы по­ни­же­ния сте­пе­ни