а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ в ко­то­рой AB  =  6 и AA₁  =  3. Точки O и O₁ яв­ля­ют­ся цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ABC и A₁B₁C₁ cот­вет­ствен­но. На ребре CC₁ от­ме­че­на точка M такая, что CM  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая OO₁ со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABM.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды ABMC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На бо­ко­вой сто­ро­не CD тра­пе­ции ABCD от­ме­че­на точка M, ко­то­рая яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной этой сто­ро­ны.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  На сто­ро­не CD от­ме­че­на точка K, такая, что при­чем AD  =  2BC. Рас­сто­я­ние от точки D до пря­мой AB равно 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB.

Пла­ни­ру­ет­ся от­крыть вклад на 4 года, по­ло­жив на счет целое число мил­ли­о­нов руб­лей. В конце каж­до­го года сумма, ле­жа­щая на вкла­де, уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10%, а в на­ча­ле тре­тье­го и чет­вер­то­го года вклад по­пол­ня­ет­ся на 3 мил­ли­о­на руб­лей. Най­ди­те наи­мень­ший пер­во­на­чаль­ный вклад, при ко­то­ром на­чис­лен­ные про­цен­ты за весь срок будут более 5 мил­ли­о­нов руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно 4 ре­ше­ния.

По кругу стоят не­сколь­ко детей, среди ко­то­рых есть хотя бы 2 маль­чи­ка и хотя бы две де­воч­ки. У каж­до­го из детей есть на­ту­раль­ное число кон­фет. У любых двух маль­чи­ков оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — раз­ное. По ко­ман­де каж­дый отдал со­се­ду спра­ва одну тре­тью или одну чет­вер­тую своих кон­фет. После этого у любых двух маль­чи­ков стало раз­ное ко­ли­че­ство кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — оди­на­ко­вое. Из­вест­но, что каж­дый отдал на­ту­раль­ное число кон­фет.

а)  Воз­мож­но ли, чтобы маль­чи­ков было столь­ко же, сколь­ко и де­во­чек?

б)  Могло ли быть ровно 5 маль­чи­ка?

в)  Могло ли быть ровно 9 маль­чи­ков?