Сто­и­мость про­езд­но­го би­ле­та на месяц со­став­ля­ет 760 руб­лей, а сто­и­мость би­ле­та на одну по­езд­ку  — 22 рубля. Аня ку­пи­ла про­езд­ной и сде­ла­ла за месяц 44 по­езд­ки. На сколь­ко руб­лей боль­ше она бы по­тра­ти­ла, если бы по­ку­па­ла би­ле­ты на одну по­езд­ку?

В ма­га­зи­не вся ме­бель продаётся в разо­бран­ном виде. По­ку­па­тель может за­ка­зать сбор­ку ме­бе­ли на дому, сто­и­мость ко­то­рой со­став­ля­ет 10% от сто­и­мо­сти куп­лен­ной ме­бе­ли. Шкаф стоит 3300 руб­лей. Во сколь­ко руб­лей обойдётся по­куп­ка этого шкафа вме­сте со сбор­кой?

На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трёх суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время, по вер­ти­ка­ли  — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей тем­пе­ра­ту­рой воз­ду­ха 15 июля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Для груп­пы ино­стран­ных го­стей тре­бу­ет­ся ку­пить 10 пу­те­во­ди­те­лей. Нуж­ные пу­те­во­ди­те­ли на­шлись в трёх ин­тер­нет-ма­га­зи­нах. Усло­вия по­куп­ки и до­став­ки даны в сле­ду­ю­щей таб­ли­це.

Опре­де­ли­те, в каком из ма­га­зи­нов общая сумма по­куп­ки с учётом до­став­ки будет наи­мень­шей. В ответ за­пи­ши­те наи­мень­шую сумму в руб­лях.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 176. Точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADE.

По от­зы­вам по­ку­па­те­лей Ва­си­лий Ва­си­лье­вич оце­нил надёжность двух ин­тер­нет-ма­га­зи­нов. Ве­ро­ят­ность того, что нуж­ный товар до­ста­вят из ма­га­зи­на А, равна 0,94. Ве­ро­ят­ность того, что этот товар до­ста­вят из ма­га­зи­на Б, равна 0,89. Ва­си­лий Ва­си­лье­вич за­ка­зал товар сразу в обоих ма­га­зи­нах. Счи­тая, что ин­тер­нет-ма­га­зи­ны ра­бо­та­ют не­за­ви­си­мо друг от друга, най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ни один ма­га­зин не до­ста­вит товар.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5, ос­но­ва­ние равно 6. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x)  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x).

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 111. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Катер дол­жен пе­ре­сечь реку, ши­ри­на ко­то­рой а ско­рость те­че­ния так, чтобы при­ча­лить точно на­про­тив места от­прав­ле­ния. Он может дви­гать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми, при этом время в пути, из­ме­ря­е­мое в се­кун­дах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — ост­рый угол, за­да­ю­щий на­прав­ле­ние дви­же­ния ка­те­ра (от­счи­ты­ва­ет­ся от бе­ре­га). Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно плыть, чтобы время в пути было не боль­ше 200 с?

Най­ди­те угол DB₁A₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁, в ко­то­ром AB  =  13, AD  =  5, AA₁  =  12. Ответ дайте в гра­ду­сах.

До­ро­га между пунк­та­ми А и В со­сто­ит из подъёма и спус­ка, а её длина равна 8 км. Ту­рист прошёл путь из А в В за 5 часов. Время его дви­же­ния на спус­ке со­ста­ви­ло 1 час. С какой ско­ро­стью ту­рист шёл на спус­ке, если ско­рость его дви­же­ния на подъёме мень­ше ско­ро­сти дви­же­ния на спус­ке на 3 км/ч?

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [1; 3].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

От­ре­зок AC ― диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, от­ре­зок AP  ― об­ра­зу­ю­щая этого ко­ну­са и AP  =  AC. Хорда ос­но­ва­ния BC со­став­ля­ет с пря­мой AC угол 60°. Через AP про­ве­де­но се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, па­рал­лель­ной пря­мой BC. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 1.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ADP, где и AD  — хорда ос­но­ва­ния, яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са O до плос­ко­сти се­че­ния.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке P и пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BO в точке Q. При этом от­рез­ки OC и QP па­рал­лель­ны.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  ― рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BQP, если точка O делит вы­со­ту BD тре­уголь­ни­ка в от­но­ше­нии BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2a.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся для всех дей­стви­тель­ных зна­че­ний

Петя умно­жил не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число на со­сед­нее на­ту­раль­ное число, и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное а. Вася умно­жил не­ко­то­рое чет­ное на­ту­раль­ное число на со­сед­нее чет­ное на­ту­раль­ное число и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное b.

а)  Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел a и b рав­нять­ся 8?

б)  Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел a и b рав­нять­ся 11?

в)  Какие зна­че­ния может при­ни­мать мо­дуль раз­но­сти чисел a и b?