Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2 x минус 4 ко­си­нус в квад­ра­те 2 x умно­жить на синус в квад­ра­те x= минус синус левая круг­лая скоб­ка 2 x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лу левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При­ме­ним фор­му­лу при­ве­де­ния, по­лу­чим:

минус синус левая круг­лая скоб­ка 2 x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 2x.

Тогда урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

2 ко­си­нус в квад­ра­те 2 x минус 4 ко­си­нус в квад­ра­те 2 x умно­жить на синус в квад­ра­те x= ко­си­нус 2x.

Зна­че­ния пе­ре­мен­ной, при ко­то­рых ко­си­нус 2x = 0, то есть числа x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k, k при­над­ле­жит Z , удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию. При про­чих х раз­де­лим обе части урав­не­ния на ко­си­нус 2x. По­лу­ча­ем:

2 ко­си­нус 2 x минус 4 ко­си­нус 2 x умно­жить на синус в квад­ра­те x= 1 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус 2 x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка = 1 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2x = 1 рав­но­силь­но ко­си­нус 2x = \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 2 рав­но­силь­но 2x = \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но x = \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k.

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лу левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка , от­бе­рем при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). На ин­тер­ва­ле лежат три ре­ше­ния: дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k, минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 440
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Фор­му­лы при­ве­де­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025