а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁A₁B₁C₁D₁ точки M, N и K делят ребра AA₁, BB₁, DD₁ в от­но­ше­нии 1 : 5, 1 : 4 и 1 : 2 со­от­вет­ствен­но, счи­тая от ниж­не­го ос­но­ва­ния ABCD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNK делит ребро CC₁ в от­но­ше­нии 11 : 19, счи­тая от ниж­не­го ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна  а вы­со­та равна 30.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 3 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Из­вест­но, что за 24-⁠й месяц кре­ди­то­ва­ния нужно вы­пла­тить 45,2 тыс. руб. Сколь­ко руб­лей нужно будет вер­нуть банку в те­че­ние всего срока кре­ди­то­ва­ния?

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­ны AB и BC со­от­вет­ствен­но равны 3 и 5, а угол между ними 120°. Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к AB и BC пе­ре­се­ка­ют AC со­от­вет­ствен­но в точ­ках L и N.

а)  До­ка­жи­те, что BN : (BL + LN)  =  5 : 8.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных со­от­вет­ствен­но в тре­уголь­ни­ки BCN и ABL.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых ре­ше­ния урав­не­ния

су­ще­ству­ют и при­над­ле­жат от­рез­ку [2; 17].

На столе лежат 140 кар­то­чек  — синие и белые, на каж­дой кар­точ­ке за­пи­са­но ровно одно на­ту­раль­ное число. Все числа на белых кар­точ­ках раз­лич­ны, и число на любой синей кар­точ­ке не мень­ше числа на любой белой кар­точ­ке. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех за­пи­сан­ных чисел равно 70. Если все числа на синих кар­точ­ках умень­шить на 5, а все числа на белых кар­точ­ках уве­ли­чить на 2, то сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел ста­нет рав­ным 67,5 (при умень­ше­нии не­ко­то­рые числа могут не быть на­ту­раль­ны­ми).

а)  Могут ли все числа на белых кар­точ­ках быть чет­ны­ми?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на синих кар­точ­ках рав­нять­ся 70,5?

в)  Какое наи­мень­шее сред­нее ариф­ме­ти­че­ское может быть у чисел на синих кар­точ­ках?