а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки A, B и C, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точка C₁, причём CC₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC   — диа­метр ос­но­ва­ния. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми и BC равен

б)  Най­ди­те объём ци­лин­дра.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­сом 8. Из­вест­но, что AB = BC = CD = 12.

а)  До­ка­жи­те,что пря­мые BC и AD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те AD.

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 1 000 000 руб­лей на (n + 1) месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  cо 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по n-⁠й долг дол­жен быть на 40 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  15-⁠го числа n-го ме­ся­ца долг со­ста­вит 200 тысяч руб­лей;

—  к 15-⁠му числу (n + 1)-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1378 тысяч руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но 11 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­мень­ших из них равно 5, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­боль­ших равно 15.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих один­на­дца­ти чисел рав­нять­ся 3?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех один­на­дца­ти чисел рав­нять­ся 9?

в)  Пусть B  — ше­стое по ве­ли­чи­не число, а S  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех один­на­дца­ти чисел. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния