В 1-⁠е клас­сы по­сту­па­ет 45 че­ло­век: 20 маль­чи­ков и 25 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам: в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом  ― 23. После рас­пре­де­ле­ния по­счи­та­ли про­цент де­во­чек в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли. Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма была наи­боль­шей?

В рас­по­ря­же­нии на­чаль­ни­ка име­ет­ся бри­га­да ра­бо­чих в со­ста­ве 24 че­ло­век. Их нужно рас­пре­де­лить на день на два объ­ек­та. Если на пер­вом объ­ек­те ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет 4t² у. е. Если на вто­ром объ­ек­те ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет t² у. е. Как нужно рас­пре­де­лить на эти объ­ек­ты бри­га­ду ра­бо­чих, чтобы вы­пла­ты на их су­точ­ную зар­пла­ту ока­за­лись наи­мень­ши­ми? Сколь­ко у. е. в этом слу­чае при­дет­ся за­пла­тить ра­бо­чим?

Два ве­ло­си­пе­ди­ста рав­но­мер­но дви­жут­ся по вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным до­ро­гам по на­прав­ле­нию к пе­ре­крест­ку этих дорог. Один из них дви­жет­ся со ско­ро­стью 40 км/ч и на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 5 км от пе­ре­крест­ка, вто­рой дви­жет­ся со ско­ро­стью 30 км/⁠ч и на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 3 км от пе­ре­крест­ка. Через сколь­ко минут рас­сто­я­ние между ве­ло­си­пе­ди­ста­ми ста­нет наи­мень­шим? Ка­ко­во будет это наи­мень­шее рас­сто­я­ние? Счи­тай­те, что пе­ре­кре­сток не T-⁠об­раз­ный, обе до­ро­ги про­дол­жа­ют­ся за пе­ре­крест­ком.

Алек­сей вышел из дома на про­гул­ку со ско­ро­стью υ км/ч. После того, как он про­шел 6 км, из дома сле­дом за ним вы­бе­жа­ла со­ба­ка Жучка, ско­рость ко­то­рой была на 9 км/⁠ч боль­ше ско­ро­сти Алек­сея. Когда Жучка до­гна­ла хо­зя­и­на, они по­вер­ну­ли назад и вме­сте воз­вра­ти­лись домой со ско­ро­стью 4 км/⁠ч. Най­ди­те зна­че­ние υ, при ко­то­ром время про­гул­ки Алек­сея ока­жет­ся наи­мень­шим. Сколь­ко при этом со­ста­вит время его про­гул­ки?

В бас­сейн про­ве­де­ны три трубы. Пер­вая труба на­ли­ва­ет 30 м³ воды в час. Вто­рая труба на­ли­ва­ет в час на 3V м³ мень­ше, чем пер­вая (0 < V < 10), а тре­тья труба на­ли­ва­ет в час на 10V м³ боль­ше пер­вой. Сна­ча­ла пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте, на­ли­ва­ют 30% бас­сей­на, а затем все три трубы, ра­бо­тая вме­сте, на­ли­ва­ют остав­ши­е­ся 0,7 бас­сей­на. При каком зна­че­нии V бас­сейн быст­рее всего на­пол­нит­ся ука­зан­ным спо­со­бом?

Баржа гру­зо­подъ­ем­но­стью 134 тонны пе­ре­во­зит кон­тей­не­ры типов А и В. Ко­ли­че­ство за­гру­жен­ных на баржу кон­тей­не­ров типа В не менее чем на 25% пре­вос­хо­дит ко­ли­че­ство за­гру­жен­ных кон­тей­не­ров типа А. Вес и сто­и­мость од­но­го кон­тей­не­ра типа А со­став­ля­ет 2 тонны и 5 млн. руб., кон­тей­не­ра типа В  — 5 тонн и 7 млн. руб. со­от­вет­ствен­но. Опре­де­ли­те наи­боль­шую воз­мож­ную сум­мар­ную сто­и­мость (в млн. руб.) всех кон­тей­не­ров, пе­ре­во­зи­мых бар­жей при дан­ных усло­ви­ях.

Лео­нид яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые при­бо­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние.

В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но 4t³ часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t при­бо­ров; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t³ часов в не­де­лю, они про­из­во­дят t при­бо­ров.  

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Лео­нид пла­тит ра­бо­че­му 1 ты­ся­чу руб­лей. Не­об­хо­ди­мо, чтобы за не­де­лю сум­мар­но про­из­во­ди­лось 20 при­бо­ров. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить вла­дель­цу за­во­дов еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?

В двух об­ла­стях есть по 160 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 5 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,1 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти ра­бо­чие объ­еди­не­ны в две бри­га­ды, одна из ко­то­рых до­бы­ва­ет алю­ми­ний, а дру­гая  — ни­кель, при­чем для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко-⁠часов труда, а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся у² че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Для нужд про­мыш­лен­но­сти можно ис­поль­зо­вать или алю­ми­ний, или ни­кель, причём 1 кг алю­ми­ния можно за­ме­нить 1 кг ни­ке­ля. Какую наи­боль­шую массу ме­тал­лов можно за сутки сум­мар­но до­быть в двух об­ла­стях?

На каж­дом из двух за­во­дов ра­бо­та­ет по 100 че­ло­век. На пер­вом за­во­де один ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет за смену 3 де­та­ли А или 1 де­таль В. На вто­ром за­во­де для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-⁠смен. Оба за­во­да по­став­ля­ют де­та­ли на ком­би­нат, где со­би­ра­ют из­де­лие, при­чем для его из­го­тов­ле­ния нужна 1 де­таль А и 3 де­та­ли В. При этом за­во­ды до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой из­го­тав­ли­вать де­та­ли так, чтобы можно было со­брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий. Сколь­ко из­де­лий при таких усло­ви­ях может со­брать ком­би­нат за смену?

Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми ви­да­ми на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным видом про­дук­та.

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль, ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц.

Пер­вич­ная ин­фор­ма­ция раз­де­ля­ет­ся по сер­ве­рам №1 и №2 и об­ра­ба­ты­ва­ет­ся на них. С сер­ве­ра №1 при объёме t² Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 20t  Гбайт, а с сер­ве­ра №2 при объёме t² Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 21t  Гбайт об­ра­бо­тан­ной ин­фор­ма­ции, 25 < t < 55. Каков наи­боль­ший общий объём вы­хо­дя­щей ин­фор­ма­ции при общем объёме вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции в 3364 Гбайт?

Антон яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дит­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Антон пла­тит ра­бо­че­му 250 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де,  — 200 руб­лей.

Антон готов вы­де­лять 900 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Гри­го­рий яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 3t  еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 4t  еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Гри­го­рий пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей. Гри­го­рий готов вы­де­лять 5 000 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в q  =  0,5x² + x + 7 млн руб. в год. При цене p тыс. руб. за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб.) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через три года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб.?

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 78 млн руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство х тыс. ед. про­дук­ции на таком за­во­де равны млн руб­лей в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене р тыс. руб­лей за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб­лей) за один год со­ста­вит Когда завод будет по­стро­ен, фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. При каком наи­мень­шем зна­че­нии р стро­и­тель­ство за­во­да оку­пит­ся не более, чем за 3 года?

У фер­ме­ра есть два поля, каж­дое пло­ща­дью 10 гек­та­ров. На каж­дом поле можно вы­ра­щи­вать кар­то­фель и свёклу, поля можно де­лить между этими куль­ту­ра­ми в любой про­пор­ции. Уро­жай­ность кар­то­фе­ля на пер­вом поле со­став­ля­ет 500 ц/⁠га, а на вто­ром  — 300 ц/⁠га. Уро­жай­ность свёклы на пер­вом поле со­став­ля­ет 300 ц/⁠га, а на вто­ром  — 500 ц/⁠га.

Фер­мер может про­дать кар­то­фель по цене 5000 руб. за цент­нер, а свёклу  — по цене 8000 руб. за цент­нер. Какой наи­боль­ший доход может по­лу­чить фер­мер?

Пред­при­ни­ма­тель купил зда­ние и со­би­ра­ет­ся от­крыть в нем отель. В отеле могут быть стан­дарт­ные но­ме­ра пло­ща­дью 30 квад­рат­ных мет­ров и но­ме­ра «люкс» пло­ща­дью 40 квад­рат­ных мет­ров. Общая пло­щадь, ко­то­рую можно от­ве­сти под но­ме­ра, со­став­ля­ет 940 квад­рат­ных мет­ров. Пред­при­ни­ма­тель может опре­де­лить эту пло­щадь между но­ме­ра­ми раз­лич­ных типов, как хочет. Обыч­ный номер будет при­но­сить отелю 4000 руб­лей в сутки, а номер «люкс»  — 5000 руб­лей в сутки. Какую наи­боль­шую сумму денег смо­жет за­ра­бо­тать в сутки на своем отеле пред­при­ни­ма­тель?

В двух шах­тах до­бы­ва­ют алю­ми­ний и ни­кель. В пер­вой шахте име­ет­ся 20 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся 5 часов в день. При этом один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 1 кг алю­ми­ния или 2 кг ни­ке­ля. Во вто­рой шахте име­ет­ся 100 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся 5 часов в день. При этом один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 2 кг алю­ми­ния или 1 кг ни­ке­ля.

Обе шахты по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром на 2 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся 1 кг ни­ке­ля. При этом шахты до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

В двух об­ла­стях есть по 20 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 10 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,2 кг алю­ми­ния или 0,2 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи х кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся че­ло­ве­ко-часов труда, а для до­бы­чи y кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром на 1 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся 1 кг ни­ке­ля. При этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

В двух об­ла­стях есть по 20 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 10 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,1 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти ра­бо­чие объ­еди­не­ны в две бри­га­ды, одна из ко­то­рых до­бы­ва­ет алю­ми­ний, а дру­гая  — ни­кель, при­чем для до­бы­чи х кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся че­ло­ве­ко-⁠часов труда, а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром на 3 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся 1 кг ни­ке­ля. При этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

В двух об­ла­стях есть по 100 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 10 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,3 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко-⁠часов труда, а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y² че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром на 1 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся 1 кг ни­ке­ля. При этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

В двух об­ла­стях ра­бо­та­ют по 160 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 5 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,1 кг алю­ми­ния или 0,3 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти ра­бо­чие объ­еди­не­ны в две бри­га­ды, одна из ко­то­рых до­бы­ва­ет алю­ми­ний, а дру­гая  — ни­кель, при­чем для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко-⁠часов труда, а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y² че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Для нужд про­мыш­лен­но­сти можно ис­поль­зо­вать или алю­ми­ний, или ни­кель, причём 1 кг алю­ми­ния можно за­ме­нить 1 кг ни­ке­ля. Какую наи­боль­шую сум­мар­ную массу ме­тал­лов можно до­быть в двух об­ла­стях за сутки?

Алек­сей при­обрёл цен­ную бу­ма­гу за 8 тыс. руб­лей. Цена бу­ма­ги каж­дый год воз­рас­та­ет на 1 тыс. руб­лей. В любой мо­мент Алек­сей может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт. Каж­дый год сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся на 8%. В те­че­ние ка­ко­го года после по­куп­ки Алек­сей дол­жен про­дать цен­ную бу­ма­гу, чтобы через два­дцать пять лет после по­куп­ки этой бу­ма­ги сумма на бан­ков­ском счёте была наи­боль­шей?

В двух об­ла­стях есть по 90 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 5 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,3 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко-⁠часов труда, а для до­бы­чи y кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y² че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Для нужд про­мыш­лен­но­сти можно ис­поль­зо­вать или алю­ми­ний, или ни­кель, причём 1 кг алю­ми­ния можно за­ме­нить 1 кг ни­ке­ля. Какую наи­боль­шую сум­мар­ную массу ме­тал­лов можно до­быть в двух об­ла­стях за сутки?

В двух об­ла­стях есть по 50 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 10 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,2 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко-⁠часов труда, а для до­бы­чи y кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y² че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром 1 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся на 2 кг ни­ке­ля. При этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет ак­ци­я­ми, цена ко­то­рых к концу года t ста­но­вит­ся рав­ной t² тыс. руб. (т. е. к концу пер­во­го года они стоят 1 тыс. руб., к концу вто­ро­го  — 4 тыс. руб. и т. д.), в те­че­ние 20 лет. В конце лю­бо­го года можно про­дать акции по их ры­ноч­ной цене на конец года и по­ло­жить вы­ру­чен­ные день­ги в банк под 25% го­до­вых. В конце ка­ко­го года нужно про­дать акции, чтобы при­быль была мак­си­маль­ной?

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет цен­ны­ми бу­ма­га­ми, ко­то­рые стоят тыс. руб­лей в конце года В конце лю­бо­го года пен­си­он­ный фонд может про­дать цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить день­ги на счёт в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся в раз. Пен­си­он­ный фонд хочет про­дать цен­ные бу­ма­ги в конце та­ко­го года, чтобы в конце два­дцать пя­то­го года сумма на его счёте была наи­боль­шей. Расчёты по­ка­за­ли, что для этого цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце два­дцать пер­во­го года. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях r это воз­мож­но?

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет цен­ны­ми бу­ма­га­ми, ко­то­рые стоят 10t тыс. руб­лей в конце года t (t  =  1, 2, ...). В конце лю­бо­го года пен­си­он­ный фонд может про­дать цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить день­ги на счёт в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся на 24%. В конце ка­ко­го года пен­си­он­но­му фонду сле­ду­ет про­дать цен­ные бу­ма­ги, чтобы в конце два­дца­то­го года сумма на его счёте была наи­боль­шей?

За­ви­си­мость ко­ли­че­ства Q (в шт., ) куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены P (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб­лей. Кроме за­трат на про­из­вод­ство, фирма долж­на пла­тить налог t руб­лей () с каж­дой про­из­ведённой еди­ни­цы то­ва­ра. Таким об­ра­зом, при­быль фирмы со­став­ля­ет руб­лей, а общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, равна tQ руб­лей.

Фирма про­из­во­дит такое ко­ли­че­ство то­ва­ра, при ко­то­ром её при­быль мак­си­маль­на. При каком зна­че­нии t общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет мак­си­маль­ной?

За­ви­си­мость объёма Q (в шт.) куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены Р (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой Доход от про­да­жи то­ва­ра со­став­ля­ет РQ руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб­лей. При­быль равна раз­но­сти до­хо­да от про­да­жи то­ва­ра и за­трат на его про­из­вод­ство. Стре­мясь при­влечь вни­ма­ние по­ку­па­те­лей, фирма умень­ши­ла цену то­ва­ра на 20%, од­на­ко её при­быль не из­ме­ни­лась. На сколь­ко про­цен­тов сле­ду­ет уве­ли­чить сни­жен­ную цену, чтобы до­бить­ся наи­боль­шей при­бы­ли?

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 159 млн руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство х тыс. ед. про­дук­ции на таком за­во­де равны млн руб­лей в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене р тыс. руб­лей за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб­лей) за один год со­ста­вит Когда завод будет по­стро­ен, фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. При этом в пер­вый год p  =  10, а далее каж­дый год воз­рас­та­ет на 1. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство?

Для пе­ре­воз­ки 500 ма­лень­ких и 26 боль­ших бло­ков был вы­де­лен ав­то­мо­биль гру­зо­подъ­ем­но­стью 9,75 т. По тех­ни­че­ским усло­ви­ям он может пе­ре­во­зить не более 38 ма­лень­ких бло­ков. Га­ба­ри­ты бло­ков та­ко­вы, что пе­ре­воз­ка од­но­го боль­шо­го блока при­рав­ни­ва­ет­ся к пе­ре­воз­ке 18 ма­лень­ких. Боль­шой блок весит 3,5 т, а ма­лень­кий 0,25 т. Какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство пе­ре­во­зок по­тре­бу­ет­ся для пе­ре­ме­ще­ния всех бло­ков?

Эпи­центр цик­ло­на, дви­жу­щий­ся пря­мо­ли­ней­но, во время пер­во­го из­ме­ре­ния на­хо­дил­ся в 24 км к се­ве­ру и 5 км к за­па­ду от ме­тео­стан­ции, а во время вто­ро­го из­ме­ре­ния на­хо­дил­ся в 20 км к се­ве­ру и км к за­па­ду от ме­тео­стан­ции. Опре­де­ли­те наи­мень­шее рас­сто­я­ние, на ко­то­рое эпи­центр цик­ло­на при­бли­зит­ся к ме­тео­стан­ции.

Завод за­ку­па­ет стан­ки двух типов, на при­об­ре­те­ние ко­то­рых вы­де­ле­но 34 мил­ли­о­на руб­лей. Ста­нок пер­во­го типа за­ни­ма­ет пло­щадь 7 м² (с уче­том про­хо­дов), про­из­во­дит за смену 5000 еди­ниц про­дук­ции и стоит 4 мил­ли­о­на руб­лей. Ста­нок вто­ро­го типа за­ни­ма­ет пло­щадь 4 м² (с уче­том про­хо­дов), про­из­во­дит за смену 3000 еди­ниц про­дук­ции и стоит 3 мил­ли­о­на руб­лей. Стан­ки долж­ны быть раз­ме­ще­ны на пло­ща­ди, не пре­вы­ша­ю­щей 50 м². Сколь­ко стан­ков каж­до­го типа нужно при­об­ре­сти, чтобы про­из­во­дить за смену наи­боль­шее ко­ли­че­ство про­дук­ции?

В кон­тей­нер упа­ко­ва­ны ком­плек­ту­ю­щие из­де­лия трех типов. Сто­и­мость и вес из­де­лия со­став­ля­ют 400 тыс. руб. и 12 кг для пер­во­го типа, 500 тыс. руб. и 16 кг для вто­ро­го типа, 600 тыс. руб. и 15 кг для тре­тье­го типа. Общий вес ком­плек­ту­ю­щих равен 326 кг. Опре­де­ли­те ми­ни­маль­ную и мак­си­маль­ную воз­мож­ную сум­мар­ную сто­и­мость на­хо­дя­щих­ся в кон­тей­не­ре ком­плек­ту­ю­щих из­де­лий.

Пра­ви­тель­ство ре­ши­ло за­крыть не­рен­та­бель­ные шахты и по­стро­ить новые фаб­ри­ки и за­во­ды. В ре­зуль­та­те за­кры­тия одной шахты уволь­ня­ет­ся 180 че­ло­век, при этом на кон­сер­ва­цию шахты и вы­пла­ту по­со­бий уволь­ня­е­мым тра­тит­ся 52 мил­ли­о­на руб­лей. Стро­и­тель­ство од­но­го но­во­го за­во­да с пер­со­на­лом 170 че­ло­век стоит 43 млн руб., а одной фаб­ри­ки с пер­со­на­лом 110 че­ло­век  — 20 млн руб. Чему равно мак­си­маль­но воз­мож­ное уве­ли­че­ние сум­мар­но­го числа новых ра­бо­чих мест, если из­вест­но, что сумма всех за­трат пра­ви­тель­ства со­ста­ви­ла ровно 714 млн руб.?

Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми на­чин­ка­ми: ягод­ная, тво­рож­ная и мяс­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным видом про­дук­та.

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль, ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц.

Не­об­хо­ди­мо про­из­ве­сти от­дел­ку зда­ния, име­ю­ще­го форму пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да объ­е­мом 432 м³. От­дел­ка стены зда­ния, при­мы­ка­ю­щей к внут­рен­не­му стро­е­нию, об­хо­дит­ся в 1000 руб. за квад­рат­ный метр. От­дел­ка трех фа­сад­ных стен об­хо­дит­ся в 2000 руб. за квад­рат­ный метр. А за­лив­ка крыши, форма ко­то­рой яв­ля­ет­ся квад­ра­том, об­хо­дит­ся в 7000 руб. за квад­рат­ный метр. Най­ди­те раз­ме­ры зда­ния, от­де­лоч­ные ра­бо­ты ко­то­ро­го при дан­ных усло­ви­ях яв­ля­ют­ся наи­мень­ши­ми по сто­и­мо­сти.

Сер­гей хочет ку­пить пакет акций быст­ро­рас­ту­щей ком­па­нии. В на­ча­ле года у Сер­гея не было денег на по­куп­ку акций, а пакет стоил 160 000 руб­лей. В се­ре­ди­не каж­до­го ме­ся­ца Сер­гей от­кла­ды­ва­ет на по­куп­ку па­ке­та акций одну и ту же сумму, а в конце ме­ся­ца пакет до­ро­жа­ет, но не более чем на 25%. Какую наи­мень­шую сумму (в руб­лях) нужно от­кла­ды­вать Сер­гею каж­дый месяц, чтобы через не­ко­то­рое время ку­пить же­ла­е­мый пакет акций?

В на­ча­ле года Алек­сей при­обрёл цен­ные бу­ма­ги на сумму 9 тыс. руб­лей. В се­ре­ди­не каж­до­го года сто­и­мость цен­ных бумаг воз­рас­та­ет на 2 тыс. руб­лей. В любой мо­мент Алек­сей может про­дать цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт. В се­ре­ди­не каж­до­го года сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся на 9%. В на­ча­ле ка­ко­го года после по­куп­ки Алек­сей дол­жен про­дать цен­ные бу­ма­ги, чтобы через два­дцать лет после по­куп­ки цен­ных бумаг сумма на бан­ков­ском счёте была наи­боль­шей?

Алек­сей пла­ни­ру­ет 15 де­каб­ря взять в банке кре­дит на 2 года в раз­ме­ре 1 806 000 руб­лей. Со­труд­ник банка пред­ло­жил Алек­сею два раз­лич­ных ва­ри­ан­та по­га­ше­ния кре­ди­та, опи­са­ние ко­то­рых при­ве­де­но в таб­ли­це.

На сколь­ко руб­лей мень­ше ока­жет­ся общая сумма вы­плат банку по более вы­год­но­му для Алек­сея ва­ри­ан­ту по­га­ше­ния кре­ди­та?

Цена цен­ной бу­ма­ги на конец года вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле S  =  1,1S₀ + 2000, где S₀  — цена цен­ной бу­ма­ги на на­ча­ло года в руб­лях. Мак­сим может при­об­ре­сти цен­ную бу­ма­гу, а может по­ло­жить день­ги на бан­ков­ский счёт, на ко­то­ром сумма уве­ли­чи­ва­ет­ся за год на 12%. В на­ча­ле лю­бо­го года Мак­сим может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить все вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт, а также снять день­ги с бан­ков­ско­го счёта и ку­пить цен­ную бу­ма­гу. В на­ча­ле 2021 года у Мак­си­ма было 80 тысяч руб­лей, ко­то­рые он может по­ло­жит на бан­ков­ский счёт или может при­об­ре­сти на них цен­ную бу­ма­гу. Какая наи­боль­шая сумма может быть у Мак­си­ма через че­ты­ре года? Ответ дайте в руб­лях.

Бри­га­ду из 30 ра­бо­чих нужно рас­пре­де­лить по двум объ­ек­там. Если на пер­вом объ­ек­те ра­бо­та­ет p че­ло­век, то каж­дый из них по­лу­ча­ет в сутки 200p  руб­лей. Если на вто­ром объ­ек­те ра­бо­та­ет p че­ло­век, то каж­дый из них по­лу­ча­ет в сутки (50p + 300) руб. Как нужно рас­пре­де­лить ра­бо­чих по объ­ек­там, чтобы их сум­мар­ная су­точ­ная зар­пла­та ока­за­лась наи­мень­шей? Сколь­ко руб­лей в этом слу­чае придётся за­пла­тить за сутки всем ра­бо­чим?

В ян­ва­ре 2005 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Фан­та­зия» со­ста­ви­ла x% го­до­вых, а в ян­ва­ре 2006 года  — y% го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y  =  30. В ян­ва­ре 2005 года вклад­чик от­крыл де­по­зит­ный счёт в банке «Фан­та­зия», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2006 года, по про­ше­ствии года со дня от­кры­тия счёта, вклад­чик снял со счёта пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние x, при ко­то­ром сумма на счёте вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2007 года яв­ля­ет­ся мак­си­маль­но воз­мож­ной.

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 140 млн руб. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тыс. ед. про­дук­ции на таком за­во­де равны 0,2x² + 3x + 1 млн руб. в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене p тыс. руб. за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб.) за один год со­ста­вит px − (0,2x² + 3x + 1). Когда завод будет по­стро­ен, фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки за­во­да цена на про­дук­цию p  =  7 тыс. руб. за еди­ни­цу. Каж­дый по­сле­ду­ю­щий год цена уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2 тыс. руб. за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство за­во­да?

В на­ча­ле 1977 года Али­шер по­ло­жил в пу­стой сейф 1 млн руб. В на­ча­ле каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го года он вы­ни­ма­ет из сейфа m% име­ю­щих­ся там руб­лей. При каком зна­че­нии m он вынет из сейфа в на­ча­ле 1982 года мак­си­маль­ную сумму?

Фаб­ри­ка по­лу­чи­ла заказ на из­го­тов­ле­ние 1005 де­та­лей типа А и 2010 де­та­лей типа В. Каж­дый из 192 ра­бо­чих фаб­ри­ки за­тра­чи­ва­ет на из­го­тов­ле­ние двух де­та­лей типа А время, за ко­то­рое он мог бы из­го­то­вить одну де­таль типа В. Каким об­ра­зом сле­ду­ет раз­де­лить ра­бо­чих фаб­ри­ки на две бри­га­ды, чтобы вы­пол­нить заказ за наи­мень­шее время, при усло­вии, что обе бри­га­ды при­сту­пят к ра­бо­те од­но­вре­мен­но и каж­дая из бри­гад будет за­ня­та из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей толь­ко од­но­го типа?

В рас­тво­ре Х со­дер­жит­ся 30% ве­ще­ства А и 50% ве­ще­ства В, в рас­тво­ре Y со­дер­жит­ся 50% ве­ще­ства А и 40% ве­ще­ства В, в рас­тво­ре Z со­дер­жит­ся 80% ве­ще­ства А и 10% ве­ще­ства В. В ре­зуль­та­те сме­ши­ва­ния по­лу­чил­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 60% ве­ще­ства А. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­дер­жа­ние ве­ще­ства В в по­лу­чив­шем­ся рас­тво­ре.

Ша­ро­на Аб­ра­мов­на пла­ни­ру­ет взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму и вы­би­ра­ет между двумя бан­ка­ми. Пер­вый банк пред­ла­га­ет кре­дит на 10 лет под 3% го­до­вых, вто­рой  — на 6 лет под 9% го­до­вых, при­чем в обоих бан­ках при­ме­ня­ет­ся диф­фе­рен­ци­ро­ван­ная съема по­га­ше­ния кре­ди­та (еже­год­но долг умень­ша­ет­ся каж­дый год на одну и ту же ве­ли­чи­ну по срав­не­нию с преды­ду­щим годом). В какой банк вы­год­нее об­ра­тить­ся Ша­ро­не Аб­ра­мов­не и сколь­ко про­цен­тов от кре­ди­та со­ста­вит эта вы­го­да?

За­ви­си­мость ко­ли­че­ства Q (в шт., ) куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены P (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб­лей. Кроме за­трат на про­из­вод­ство, фирма долж­на пла­тить налог t руб­лей с каж­дой про­из­ведённой еди­ни­цы то­ва­ра. Таким об­ра­зом, при­быль фирмы со­став­ля­ет руб­лей, а общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, равна tQ руб­лей.

Фирма про­из­во­дит такое ко­ли­че­ство то­ва­ра, при ко­то­ром её при­быль мак­си­маль­на. При каком зна­че­нии t общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет мак­си­маль­ной?

Ин­ве­сто­ру пред­ла­га­ют­ся два про­ек­та для вло­же­ния де­неж­ных средств. В каж­дом про­ек­те за­ви­си­мость при­бы­ли y (в ты­ся­чах руб­лей) от вло­же­ний x (тыс. руб.) опре­де­ля­ет­ся квад­ра­тич­ной функ­ци­ей с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми a и b, за­ви­ся­щи­ми от про­ек­та. Из­вест­но, что при ин­ве­сти­ро­ва­нии средств толь­ко в пер­вый про­ект мак­си­маль­ная при­быль в 200 тыс. руб. до­сти­га­ет­ся при вло­же­нии 100 тыс. руб., а при ин­ве­сти­ро­ва­нии толь­ко во вто­рой про­ект мак­си­маль­ная при­быль в 150 тыс. руб. до­сти­га­ет­ся при вло­же­нии 150 тыс. руб. Ин­ве­стор решил вло­жить 290 тыс. руб­лей в оба про­ек­та. Какую сумму ему сле­ду­ет вло­жить в каж­дый из про­ек­тов, чтобы общая при­быль была мак­си­маль­ной? Най­ди­те эту мак­си­маль­ную общую при­быль.

Паром гру­зо­подъёмно­стью 109 тонн пе­ре­во­зит джипы и гру­зо­ви­ки. Ко­ли­че­ство пе­ре­во­зи­мых на па­ро­ме гру­зо­ви­ков не менее чем на 20% пре­вос­хо­дит ко­ли­че­ство пе­ре­во­зи­мых джи­пов. Вес и сто­и­мость пе­ре­воз­ки од­но­го джипа со­став­ля­ют 3 тонны и 600 руб­лей, гру­зо­ви­ка  — 5 тонн и 700 руб­лей со­от­вет­ствен­но. Опре­де­ли­те наи­боль­шую воз­мож­ную сум­мар­ную сто­и­мость пе­ре­воз­ки всех джи­пов и гру­зо­ви­ков при дан­ных усло­ви­ях.

Цена за еди­ни­цу то­ва­ра за­ви­сит от объ­е­ма за­ка­за и опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

1.  Если объём за­ка­за не пре­вы­ша­ет 4000 еди­ниц то­ва­ра, то цена еди­ни­цы то­ва­ра равна 300 руб­лей.

2.  Если объём за­ка­за пре­вы­ша­ет 4000 еди­ниц то­ва­ра, то на каж­дую еди­ни­цу то­ва­ра от цены 300 руб­лей предо­став­ля­ет­ся скид­ка в раз­ме­ре руб­лей, где x  — ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра в за­ка­зе.

При каком объёме за­ка­за фирма, про­да­ю­щая товар, по­лу­чит наи­боль­шую вы­руч­ку при усло­вии, что объём за­ка­за не может пре­вы­шать 16 000 еди­ниц то­ва­ра?

Стро­и­тель­ство но­во­го цеха по про­из­вод­ству ро­бо­тов-⁠пы­ле­со­сов стоит 300 мил­ли­о­нов руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тысяч еди­ниц про­дук­ции на такой линии равны млн руб. в год. Если про­дук­цию про­да­вать по цене p тыс. руб. за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб.) за один год со­ста­вит млн руб. Когда цех будет по­стро­ен, каж­дый год фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки цеха цена про­дук­ции p  =  12 тыс. руб. за еди­ни­цу, каж­дый сле­ду­ю­щий год цена про­дук­ции уве­ли­чи­ва­ет­ся на 1 тыс. руб. за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство цеха?

У ин­ве­сто­ра есть 50 мил­ли­о­нов руб­лей. Часть денег он пла­ни­ру­ет вло­жить в про­ект. Если он вло­жит в про­ект   млн руб., то по за­вер­ше­нии про­ек­та он по­лу­чит x млн руб. Нев­ло­жен­ные в про­ект день­ги ин­ве­стор пла­ни­ру­ет раз­ме­стить на бан­ков­ском счете. По за­вер­ше­нии про­ек­та ин­ве­стор по­лу­чит из банка сумму, уве­ли­чен­ную на 20%.

Ин­ве­стор со­би­ра­ет­ся рас­пре­де­лить день­ги так, чтобы общая сумма по­лу­чен­ных им денег от вло­же­ния в про­ект и раз­ме­ще­ния в банке ока­за­лась наи­боль­шей. При­быль от про­ек­та  — это раз­ность между по­лу­чен­ной от про­ек­та и вло­жен­ной в про­ект сум­ма­ми денег. Най­ди­те, сколь­ко про­цен­тов со­ста­вит при­быль от про­ек­та от вло­жен­ной в него суммы денег.

Пред­при­ни­ма­тель взял в кре­дит под 20% го­до­вых сумму S на целое число лет. Кре­дит дол­жен быть по­га­шен рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми. Через не­ко­то­рое целое число лет после ис­пол­не­ния оче­ред­но­го пла­те­жа пред­при­ни­ма­тель об­на­ру­жил, что вы­пла­тил банку сумму, боль­шую S, при этом сумма остав­ших­ся пла­те­жей также была боль­ше S. Най­ди­те ми­ни­маль­ный срок, на ко­то­рый пред­при­ни­ма­тель мог взять кре­дит.

Пред­при­я­тие про­из­во­дит дет­ские санки и яв­ля­ет­ся убы­точ­ным. Из­вест­но, что при из­го­тов­ле­нии x санок в месяц рас­хо­ды пред­при­я­тия на вы­пуск одних санок со­став­ля­ют

а цена ре­а­ли­за­ции каж­дой еди­ни­цы про­дук­ции равна   тыс. руб. Опре­де­ли­те еже­ме­сяч­ный объем про­из­вод­ства (в  ты­ся­чах санок), при ко­то­ром еже­ме­сяч­ные убыт­ки могут быть сни­же­ны до наи­мень­ше­го воз­мож­но­го уров­ня.

На каж­дом из двух ком­би­на­тов из­го­тав­ли­ва­ют де­та­ли А и В. На пер­вом ком­би­на­те ра­бо­та­ет 500 че­ло­век, и один ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет за смену 8  де­та­лей  А или 2  де­та­ли  В. На вто­ром ком­би­на­те ра­бо­та­ет 200  че­ло­век, и один ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет за смену 2 де­та­ли А или 8 де­та­лей В. Оба эти ком­би­на­та по­став­ля­ют де­та­ли на ком­би­нат, на ко­то­ром со­би­ра­ют из­де­лие, для из­го­тов­ле­ния ко­то­ро­го нужна 1  де­таль  A и 3  де­та­ли  В. При этом ком­би­на­ты до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой из­го­тав­ли­вать де­та­ли так, чтобы можно было со­брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий. Сколь­ко из­де­лий при таких усло­ви­ях может со­брать ком­би­нат за смену?

На­та­лья Дмит­ри­ев­на вла­де­ет об­ли­га­ци­я­ми, ко­то­рые стоят n² тысяч руб­лей в конце года n В конце лю­бо­го года На­та­лья Дмит­ри­ев­на может их про­дать и по­ло­жить день­ги на счет в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счете будет уве­ли­чи­вать­ся в 1  +  m раз.

На­та­лья Дмит­ри­ев­на хочет про­дать цен­ные бу­ма­ги в конце та­ко­го года, чтобы в конце два­дцать вось­мо­го года сумма на ее счете была наи­боль­шей. Рас­че­ты по­ка­за­ли, что для этого цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце два­дцать тре­тье­го года. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях m это воз­мож­но?

При на­ло­ге, рав­ном t руб­лей за еди­ни­цу то­ва­ра, объём про­из­вод­ства то­ва­ра со­став­ля­ет 12 000 − 2t еди­ниц, если это число по­ло­жи­тель­но, и 0 еди­ниц иначе. Про­из­вод­ство не­ко­то­ро­го то­ва­ра об­ла­га­лось на­ло­гом в раз­ме­ре t₀ руб­лей за еди­ни­цу то­ва­ра. После того как го­су­дар­ство, стре­мясь уве­ли­чить сумму на­ло­го­вых по­ступ­ле­ний, уве­ли­чи­ло налог на 60% (до ве­ли­чи­ны 1,6t₀), сумма на­ло­го­вых по­ступ­ле­ний не из­ме­ни­лась. На сколь­ко про­цен­тов го­су­дар­ству сле­ду­ет из­ме­нить налог после этого, чтобы до­бить­ся мак­си­маль­ных на­ло­го­вых сбо­ров?

Ха­ри­тон хочет взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму и вы­би­ра­ет между двумя бан­ка­ми. Пер­вый банк пред­ла­га­ет кре­дит на 10 лет под 7% го­до­вых, вто­рой  — на 6 лет под 9% го­до­вых. В обоих бан­ках при­ме­ня­ет­ся диф­фе­рен­ци­ро­ван­ная си­сте­ма пла­те­жей по кре­ди­ту, то есть долг перед бан­ком умень­ша­ет­ся каж­дый год на одну и ту же ве­ли­чи­ну по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Опре­де­ли­те, в каком банке пе­ре­пла­та по кре­ди­ту будет мень­ше и на сколь­ко про­цен­тов.

Фирма пла­ни­ру­ет взять в ян­ва­ре кре­дит на целое число мил­ли­о­нов руб­лей на 4 года на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях:

—  в июле каж­до­го года долг фирмы воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом года;

—  в конце 1-⁠го и 3-⁠го годов фирма вы­пла­чи­ва­ет толь­ко про­цен­ты по кре­ди­ту, на­чис­лен­ные за со­от­вет­ству­ю­щий те­ку­щий год;

—  в конце 2-⁠го и 4-⁠го годов фирма вы­пла­чи­ва­ет оди­на­ко­вые суммы, по­га­шая к концу 4-⁠го года весь долг пол­но­стью.

Най­ди­те наи­мень­ший раз­мер кре­ди­та, при ко­то­ром общая сумма вы­плат пре­вы­сит 100 мил­ли­о­нов руб­лей.

У вла­дель­ца фаб­ри­ки есть два стан­ка. Оба стан­ка ис­поль­зу­ют­ся для из­го­тов­ле­ния оди­на­ко­вых де­та­лей, но вто­рой ста­нок более со­вре­мен­ный. За m² часов пер­вый ста­нок из­го­тав­ли­ва­ет 6m де­та­лей, а вто­рой ста­нок  — 8m де­та­лей. За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из стан­ков) ра­бо­чим пла­тят 250 руб. в час.

На опла­ту труда ра­бо­чих вы­де­ле­но 25 000 руб. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство де­та­лей можно из­го­то­вить на эти день­ги с по­мо­щью двух стан­ков?

Кли­ент от­крыл в банке де­по­зит­ный вклад сро­ком на 1 год под p₁ про­цен­тов го­до­вых. По окон­ча­нии срока дей­ствия вкла­да и на­чис­ле­ния про­цен­тов он до­ба­вил к вы­дан­ной сумме денег до­пол­ни­тель­но сумму, со­став­ля­ю­щую 3% от вне­сен­ной год назад при от­кры­тии вкла­да, и пе­ре­офор­мил вклад еще на год под p₂ про­цен­тов го­до­вых. Из­вест­но, что При каком зна­че­нии p₂ через год при за­кры­тии вкла­да и на­чис­ле­нии про­цен­тов кли­ент по­лу­чит мак­си­маль­ную сумму денег?

Сер­гей вла­де­ет двумя це­ха­ми, рас­по­ло­жен­ны­ми в раз­ных рай­о­нах го­ро­да. В цехах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вая про­дук­ция, но в пер­вом цехе ис­поль­зу­ет­ся более со­вре­мен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те если ра­бо­чие вто­ро­го цеха тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за это время они про­из­во­дят 2t еди­ниц про­дук­ции. Если же ра­бо­чие пер­во­го цеха тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за это время они про­из­во­дят 4t еди­ниц про­дук­ции. В обоих цехах за каж­дый час ра­бо­ты ра­бо­че­му пла­тят 450 руб­лей. Сер­гей готов пла­тить ра­бо­чим 1 640 250 руб­лей в не­де­лю. На какое мак­си­маль­ное число еди­ниц про­дук­ции он может рас­счи­ты­вать?

Пла­ни­ру­ет­ся по­стро­ить новый завод, ко­то­рый еже­год­но будет вы­пус­кать x тыс. ед. про­дук­ции, при­чем за­тра­ты на про­из­вод­ство этого ко­ли­че­ства про­дук­ции со­ста­вят млн руб. в год. Кроме того пла­ни­ру­ет­ся, что транс­порт­ные рас­хо­ды на до­став­ку про­дук­ции до места ре­а­ли­за­ции со­ста­вят x + 24 млн руб. в год. После про­да­жи про­дук­ции (x тыс. ед.) по цене p тыс. руб. (где p  — целое число) за еди­ни­цу еже­год­ная при­быль за­во­да (в млн руб.) со­ста­вит раз­ность между по­лу­чен­ной сум­мой денег и сум­мар­ных за­трат по про­из­вод­ству про­дук­ции и транс­порт­ных рас­хо­дов. При каком наи­мень­шем зна­че­нии  p стро­и­тель­ство за­во­да оку­пит­ся не более, чем за 6 лет, если рас­хо­ды по его стро­и­тель­ству оце­ни­ва­ют­ся в раз­ме­ре 150 млн руб.?

У ин­ве­сто­ра есть 50 млн руб. Часть денег он пла­ни­ру­ет вло­жить в про­ект. Если он вло­жит в про­ект млн руб., то по за­вер­ше­нии про­ек­та он по­лу­чит x млн руб. Нев­ло­жен­ные в про­ект день­ги ин­ве­стор пла­ни­ру­ет раз­ме­стить на бан­ков­ском счете. По за­вер­ше­нии про­ек­та ин­ве­стор по­лу­чит из банка сумму, уве­ли­чен­ную на 20%. Ин­ве­стор со­би­ра­ет­ся рас­пре­де­лить день­ги так, чтобы общая сумма по­лу­чен­ных им денег от вло­же­ния в про­ект и раз­ме­ще­ния в банке ока­за­лась наи­боль­шей. При­быль от про­ек­та  — это раз­ность между по­лу­чен­ной от про­ек­та и вло­жен­ной в про­ект сум­ма­ми денег. Най­ди­те сколь­ко про­цен­тов со­ста­вит при­быль от про­ек­та от вло­жен­ной в него суммы денег.

У фер­ме­ра есть два ком­бай­на. Оба ком­бай­на ис­поль­зу­ют­ся для убор­ки зер­но­вых, но вто­рой ком­байн более со­вре­мен­ный. В ре­зуль­та­те, если пер­вый ком­байн ра­бо­та­ет m² часов, то за это время он со­би­ра­ет 8m т зер­но­вых; если вто­рой ком­байн ра­бо­та­ет m² часов, то за это время он со­би­ра­ет 15m т зер­но­вых. За каж­дый час ра­бо­ты фер­мер пла­тит каж­до­му ком­бай­не­ру 200 руб­лей. Фер­мер готов вы­де­лять 20 000 руб­лей на опла­ту труда ком­бай­не­ров. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство тонн зер­но­вых можно со­брать на эти день­ги с по­мо­щью двух ком­бай­нов?

За­ви­си­мость ко­ли­че­ства Q (в шт., куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены P (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб. Кроме за­трат на про­из­вод­ство, фирма долж­на пла­тить налог t руб­лей с каж­дой про­из­ведённой еди­ни­цы то­ва­ра. Таким об­ра­зом, при­быль фирмы со­став­ля­ет руб., а общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, равна tQ руб. Фирма про­из­во­дит такое ко­ли­че­ство то­ва­ра, при ко­то­ром её при­быль мак­си­маль­на. При каком зна­че­нии t общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет мак­си­маль­ной?

Фаб­ри­ка по­лу­чи­ла заказ на из­го­тов­ле­ние 1005 де­та­лей типа 1 и 2010 де­та­лей типа 2. Каж­дый из 192 ра­бо­чих фаб­ри­ки за­тра­чи­ва­ет на из­го­тов­ле­ние двух де­та­лей типа 1 время, за ко­то­рое он мог бы из­го­то­вить одну де­таль типа 2. Каким об­ра­зом сле­ду­ет раз­де­лить ра­бо­чих фаб­ри­ки на две бри­га­ды, чтобы вы­пол­нить заказ за наи­мень­шее время, при усло­вии, что обе бри­га­ды при­сту­пят к ра­бо­те од­но­вре­мен­но и каж­дая из бри­гад будет за­ня­та из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей толь­ко од­но­го типа?

Име­ют­ся три спла­ва, в со­став ко­то­рых вхо­дят ме­тал­лы А, В и С. Пер­вый сплав со­дер­жит 20% ме­тал­ла А, 30% ме­тал­ла В, 50% ме­тал­ла С. Вто­рой сплав со­дер­жит 50% ме­тал­ла А, 20% ме­тал­ла В, 30% ме­тал­ла С. Тре­тий сплав со­дер­жит 30% ме­тал­ла А, 40% ме­тал­ла В, 30% ме­тал­ла С. Сколь­ко ки­ло­грам­мов каж­до­го спла­ва нужно взять, чтобы по­лу­чить 10 кг но­во­го спла­ва, ко­то­рый со­дер­жал бы 25% ме­тал­ла А, а про­цент­ное со­дер­жа­ние ме­тал­ла В было бы ми­ни­маль­но воз­мож­ным?

Вадим яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t  еди­ниц то­ва­ра. За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Вадим пла­тит ра­бо­че­му 200 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де,  — 300 руб­лей. Вадим готов вы­де­лять 1 200 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 376 млн руб. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции на таком за­во­де равны млн руб. в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене p тыс. руб. за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб.) за один год со­ста­вит Когда завод будет по­стро­ен, каж­дый год фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы го­до­вая при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки за­во­да цена про­дук­ции p  =  14 тыс. руб. за еди­ни­цу. Каж­дый сле­ду­ю­щий год цена про­дук­ции уве­ли­чи­ва­ет­ся на 1 тыс. руб. за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство за­во­да?

Ин­ди­ви­ду­аль­ный пред­при­ни­ма­тель в те­че­ние не­сколь­ких дней еже­днев­но по­ку­пал в ма­га­зи­не одеж­ды 200 из­де­лий на сумму 158 тыс. руб­лей: джин­сы по 1000 руб. за штуку, ру­баш­ки  — по 800 руб. за штуку, сумки  — по 400 руб. за штуку. Най­ди­те мак­си­маль­ное число сумок, ко­то­рое могло быть куп­ле­но пред­при­ни­ма­те­лем в один из таких дней.

Ко­опе­ра­тив «Крас­ный тру­же­ник», со­сто­я­щий из не­сколь­ких цехов, про­из­во­дя­щих од­но­тип­ную про­дук­цию, в 1925 году уве­ли­чил к концу года еже­днев­ный объем вы­пус­ка про­дук­ции на p₁ про­цен­тов по срав­не­нию с на­ча­лом года. Од­на­ко с пер­во­го дня 1926 года не­сколь­ко цехов, до­стиг­ших сум­мар­но к концу преды­ду­ще­го года еже­днев­но­го объ­е­ма вы­пус­ка про­дук­ции, рав­но­го по­ло­ви­не еже­днев­но­го объ­е­ма вы­пус­ка­е­мой про­дук­ции всего ко­опе­ра­ти­ва в на­ча­ле 1925 года, были за­кры­ты на ре­кон­струк­цию до на­ча­ла сле­ду­ю­ще­го года. Осталь­ные цеха уве­ли­чи­ли к концу 1926 года еже­днев­ный объем вы­пус­ка своей про­дук­ции на p₂ про­цен­тов по срав­не­нию с на­ча­лом этого года. Из­вест­но, что При каком зна­че­нии p₁ общий еже­днев­ный объем вы­пус­ка про­дук­ции ко­опе­ра­ти­ва к концу 1926 года будет иметь мак­си­маль­ное зна­че­ние?

На каж­дом из двух ком­би­на­тов ра­бо­та­ют по 200 че­ло­век и из­го­тав­ли­ва­ют де­та­ли А и В. На пер­вом ком­би­на­те один че­ло­век из­го­тав­ли­ва­ет за смену 1 де­таль А или 3 де­та­ли В. На вто­ром ком­би­на­те для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-⁠смен. Оба ком­би­на­та по­став­ля­ют де­та­ли на завод, где со­би­ра­ют из­де­лие, для ко­то­ро­го нужна или одна де­таль А, или одна де­таль В. При этом ком­би­на­ты до­го­во­ри­лись между собой из­го­тав­ли­вать де­та­ли так, чтобы можно было со­брать наи­боль­шее число из­де­лий. Сколь­ко из­де­лий за смену при таких усло­ви­ях может со­брать завод?

Паром гру­зо­подъ­ем­но­стью 111 тонн пе­ре­во­зит мик­ро­ав­то­бу­сы и гру­зо­ви­ки при усло­вии пол­ной за­груз­ки. Ко­ли­че­ство за­гру­жен­ных на паром мик­ро­ав­то­бу­сов со­став­ля­ет не более 70% от ко­ли­че­ства за­гру­жен­ных на паром гру­зо­ви­ков. Вес и сто­и­мость од­но­го мик­ро­ав­то­бу­са со­став­ля­ют 5 тонн и 5 тысяч услов­ных еди­ниц, гру­зо­ви­ка  — 9 тонн и 4 ты­ся­чи услов­ных еди­ниц со­от­вет­ствен­но. Опре­де­ли­те наи­боль­шую воз­мож­ную сум­мар­ную сто­и­мость всех мик­ро­ав­то­бу­сов и гру­зо­ви­ков, пе­ре­во­зи­мых па­ро­мом при дан­ных усло­ви­ях.

Биз­не­смен про­да­ет ложки по цене 1000 руб. за штуку. Для уве­ли­че­ния про­даж он за­пла­ни­ро­вал ре­клам­ную кам­па­нию, на ко­то­рую вы­де­лил 100 тыс. руб. (эти день­ги не­об­хо­ди­мо по­тра­тить пол­но­стью). Ре­клам­ное объ­яв­ле­ние в со­ци­аль­ной сети сто­и­мо­стью 20 тыс. руб. уве­ли­чи­ва­ет про­да­жи ложек на 10 штук, а ре­клам­ное объ­яв­ле­ние в мес­сен­дже­ре сто­и­мо­стью 40 тыс. руб. уве­ли­чи­ва­ет про­да­жи на 30%. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ложек надо про­дать, чтобы оку­пить ре­клам­ную кам­па­нию?