Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 638058
i

На­та­лья Дмит­ри­ев­на вла­де­ет об­ли­га­ци­я­ми, ко­то­рые стоят n2 тысяч руб­лей в конце года n левая круг­лая скоб­ка n=1, 2, \ldots пра­вая круг­лая скоб­ка . В конце лю­бо­го года На­та­лья Дмит­ри­ев­на может их про­дать и по­ло­жить день­ги на счет в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счете будет уве­ли­чи­вать­ся в 1  +  m раз.

На­та­лья Дмит­ри­ев­на хочет про­дать цен­ные бу­ма­ги в конце та­ко­го года, чтобы в конце два­дцать вось­мо­го года сумма на ее счете была наи­боль­шей. Рас­че­ты по­ка­за­ли, что для этого цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце два­дцать тре­тье­го года. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях m это воз­мож­но?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В год с но­ме­ром n сто­и­мость об­ли­га­ции вы­рас­та­ет в f левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: n в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби   раз. За­ме­тим, что

f левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: конец дроби n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: n минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

При n  >  1 функ­ция f левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка убы­ва­ет. Зна­чит, для того, чтобы об­ли­га­ции было вы­год­но про­дать имен­но в конце n-го года, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ния сле­ду­ю­ще­го двой­но­го не­ра­вен­ства:

 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: n в квад­ра­те конец дроби мень­ше 1 плюс m мень­ше дробь: чис­ли­тель: n в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

По усло­вию цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать в конце два­дцать тре­тье­го года, зна­чит,

 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 23 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 23 в квад­ра­те конец дроби мень­ше 1 плюс m мень­ше дробь: чис­ли­тель: 23 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 23 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 23 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 23 в квад­ра­те конец дроби мень­ше 1 плюс m мень­ше дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 22 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 22 в квад­ра­те конец дроби рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 46, зна­ме­на­тель: 23 в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 23 в квад­ра­те конец дроби мень­ше 1 плюс m мень­ше 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 44, зна­ме­на­тель: 22 в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 22 в квад­ра­те конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 47, зна­ме­на­тель: 529 конец дроби мень­ше m мень­ше дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: 484 конец дроби .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 47, зна­ме­на­тель: 529 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: 484 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 418
Классификатор алгебры: За­да­чи на оп­ти­маль­ный выбор