а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

На ребре AB пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD от­ме­че­на точка Q, причём AQ : QB  =  1 : 2. Точка P  — се­ре­ди­на ребра AS.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость DPQ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния DPQ, если пло­щадь се­че­ния DSB равна

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, а BH  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что углы ABH и CBO равны.

б)  Най­ди­те BH, если

За­ви­си­мость ко­ли­че­ства Q (в шт., ) куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены P (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб­лей. Кроме за­трат на про­из­вод­ство, фирма долж­на пла­тить налог t руб­лей () с каж­дой про­из­ведённой еди­ни­цы то­ва­ра. Таким об­ра­зом, при­быль фирмы со­став­ля­ет руб­лей, а общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, равна tQ руб­лей.

Фирма про­из­во­дит такое ко­ли­че­ство то­ва­ра, при ко­то­ром её при­быль мак­си­маль­на. При каком зна­че­нии t общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет мак­си­маль­ной?

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

За про­хож­де­ние каж­до­го уров­ня игры на план­ше­те можно по­лу­чить от одной до трёх звёзд. При этом заряд ак­ку­му­ля­то­ра план­ше­та умень­ша­ет­ся на 9 пунк­тов при по­лу­че­нии трёх звёзд, на 12 пунк­тов при по­лу­че­нии двух звёзд и на 15 пунк­тов при по­лу­че­нии одной звез­ды. Витя прошёл не­сколь­ко уров­ней игры под­ряд.

а)  Мог ли заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шить­ся ровно на 50 пунк­тов?

б)  Сколь­ко уров­ней игры было прой­де­но, если заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шил­ся на 75 пунк­тов и сум­мар­но было по­лу­че­но 11 звёзд?

в)  За прой­ден­ный уро­вень на­чис­ля­ет­ся 7000 очков при по­лу­че­нии трёх звёзд, 6000  — при по­лу­че­нии двух звёзд и 3000  — при по­лу­че­нии одной звез­ды. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков мог по­лу­чить Витя, если заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шил­ся на 75 пунк­тов и сум­мар­но было по­лу­че­но 11 звёзд?