ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 621471 Добавить в вариант

В начале 1977 года Алишер положил в пустой сейф 1 млн руб. В начале каждого последующего года он вынимает из сейфа m% имеющихся там рублей. При каком значении m он вынет из сейфа в начале 1982 года максимальную сумму?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим исходную сумму 1 млн рублей буквой K. В начале 1978-⁠го, 1979-⁠го, 1980-⁠го, 1981-⁠го годов в сейфе Алишера в результате 4 изъятий сумм по m% оставалось $левая круглая скобка 1 минус 0,01m правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка K$ руб.

В начале 1982-го года Алишер вновь вынул m% остатка денег, эта сумма должна иметь возможное наибольшее значение. Она равна $левая круглая скобка 1 минус 0,01m правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 0,01m умножить на K$  руб. Достаточно найти значение m, при котором функция $f левая круглая скобка m правая круглая скобка = левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в степени 4 умножить на m$ достигает наибольшего значения.

По смыслу задачи $0 меньше m меньше 100.$ Функция определена при всех значениях m, таких, что $0 меньше или равно m меньше или равно 100.$ Исследуем эту функцию на наибольшее значение на отрезке [0; 100]. Найдем критические точки, не совпадающие с концами отрезка. Получим:

$f' левая круглая скобка m правая круглая скобка =4 левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в кубе умножить на m плюс левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 1= левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка 4m плюс m минус 100 правая круглая скобка = левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка 5m минус 100 правая круглая скобка .$ $f' левая круглая скобка m правая круглая скобка =4 левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в кубе умножить на m плюс левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 1=$
$= левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка 4m плюс m минус 100 правая круглая скобка = левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка 5m минус 100 правая круглая скобка .$ $f' левая круглая скобка m правая круглая скобка =4 левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в кубе умножить на m плюс левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 1=$
$= левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка 4m плюс m минус 100 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка m минус 100 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка 5m минус 100 правая круглая скобка .$

Решим уравнение $5m минус 100=0,$ найдем $m=20.$ Число 20 делит промежуток (0; 100) на промежутки знакопостоянства производной: интервалы (0; 20) и (20; 100). Найдем эти знаки, взяв пробные точки:

$f' левая круглая скобка 10 правая круглая скобка = левая круглая скобка 10 минус 100 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 20 правая круглая скобка больше 0,$ $f' левая круглая скобка 30 правая круглая скобка = левая круглая скобка 30 минус 100 правая круглая скобка левая круглая скобка 30 минус 20 правая круглая скобка меньше 0.$

Таким образом, производная функции при переходе в положительном направлении через точку 20 меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке, согласно достаточному признаку максимума функции, достигается максимум функции. Этот максимум на интервале (0; 100) единственный. Поэтому в точке 20 функция f(m) достигает наибольшего значения на интервале (0; 100).

Ответ: 20.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 365

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь