Если пен­си­он­ный фонд про­даст цен­ные бу­ма­ги в конце кода k, то в конце два­дцать пя­то­го года на его счёте будет тыс. руб.

Най­дем про­из­вод­ную по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния:

За­ме­тим, что най­ден­ная про­из­вод­ная равна нулю в един­ствен­ной точке по­ло­жи­тель­на при и от­ри­ца­тель­на при Сле­до­ва­тель­но, воз­рас­та­ет на и убы­ва­ет на Из усло­вия из­вест­но, что про­да­вать бу­ма­ги не­об­хо­ди­мо в конце 21 года, сле­до­ва­тель­но, доход, по­лу­чен­ный при про­да­же бумаг в конце 21 года, боль­ше, чем доход, ко­то­рый мог бы по­лу­чить фонд при про­да­же бумаг в конце 20-⁠го года и в конце 22 года. Из вы­яс­нен­но­го выше ха­рак­те­ра мо­но­тон­но­сти функ­ции можно за­клю­чить, что вы­пол­не­ние не­ра­венств и га­ран­ти­ру­ет, что для всех зна­че­ний k, от­лич­ных от 21. А зна­чит, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но найти ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств: и

При­ме­ча­ние. В ре­ше­нии нель­зя огра­ни­чить­ся толь­ко ре­ше­ни­ем не­ра­венств (*). Из того, что доход при про­да­же бумаг в конце 21 года боль­ше, чем доход при их про­да­же в конце 20 и 22 годов не сле­ду­ет, что этот доход боль­ше, чем при про­да­же в любой дру­гой год, а имен­но это ого­во­ре­но в усло­вии. Од­на­ко можно обой­тись без про­из­вод­ной.

На­при­мер, рас­смот­рим раз­ность пред­по­ла­га­е­мых до­хо­дов от про­да­жи цен­ных бумаг в конце года и года k:

Пер­вый мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен, вто­рой может ме­нять знак. По­ло­жи­тель­ность про­из­ве­де­ния озна­ча­ет, что доход, ко­то­рый по­лу­чит фонд, про­дав цен­ные бу­ма­ги в конце года k, мень­ше до­хо­да при их про­да­же в сле­ду­ю­щем году. От­ри­ца­тель­ность про­из­ве­де­ния озна­ча­ет, что доход, ко­то­рый по­лу­чит фонд, про­дав цен­ные бу­ма­ги в конце года k, боль­ше до­хо­да, ко­то­рый можно по­лу­чить при про­да­же бумаг в сле­ду­ю­щем году.

Пусть По­сколь­ку квад­рат­ный трёхчлен имеет един­ствен­ный ко­рень на по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси, и по­то­му если для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа k вы­пол­не­но не­ра­вен­ство то для лю­бо­го вы­пол­не­но не­ра­вен­ство Из этого сле­ду­ет, что если доход при про­да­же акций в какой-то год ока­зал­ся менее вы­год­ным, чем доход при их про­да­же в преды­ду­щий год, то и во все по­сле­ду­ю­щие годы про­да­вать акции будет менее вы­год­но.

По­сколь­ку цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце два­дцать пер­во­го года, долж­ны быть од­но­вре­мен­но вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства и то есть и Зна­чит, и от­ку­да

При­ведём дру­гое рас­суж­де­ние. Опре­де­лим, во сколь­ко раз уве­ли­чи­ва­ет­ся сто­и­мость цен­ных бумаг по срав­не­нию с их сто­и­мо­стью в преды­ду­щий год, если фонд не про­да­ет цен­ные бу­ма­ги, а хра­нит их:

По­лу­чен­ное от­но­ше­ние мо­но­тон­но убы­ва­ет с ро­стом k, по­это­му если фонд хра­нит цен­ные бу­ма­ги, не про­да­вая их, с те­че­ни­ем лет при­рост до­хо­да па­да­ет, при­бли­жа­ясь к еди­ни­це. В силу по­ка­зан­но­го убы­ва­ния, если мо­мент про­да­жи на­сту­пил в конце 21 года, то он не мог на­сту­пить ни рань­ше, ни позже. По­это­му ре­ше­ния двой­но­го не­ра­вен­ства

дадут ис­ко­мые зна­че­ния r. Пер­вое из этих не­ра­венств озна­ча­ет, что доход от хра­не­ния цен­ных бумаг в те­че­ние 22-⁠го года при­не­сет мень­ше при­бы­ли, чем в слу­чае их про­да­жи в конце 21-⁠го года,  — ждать не имеет смыс­ла, по­сколь­ку до­ход­ность стала мень­ше бан­ков­ской и будет мень­ше во все сле­ду­ю­щие годы. Вто­рое не­ра­вен­ство озна­ча­ет, что рань­ше про­да­вать тоже не имело смыс­ла  — доход от хра­не­ния цен­ных бумаг в 21-⁠м году пре­вы­ша­ет доход, ко­то­рый был бы по­лу­чен от банка, и так было все преды­ду­щие годы.

Оста­лось за­ме­тить, что