а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пи­ра­ми­де SABCD ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник ABCD а все бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды равны. Из точки B опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр BH на плос­кость SAD.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, если а пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 48.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

IT-ком­па­ния за­ку­па­ет кла­стер сер­ве­ров за 212 мил­ли­о­нов руб­лей для обу­че­ния ней­ро­се­ти, ге­не­ри­ру­ю­щей иде­аль­ные от­го­вор­ки для не­вы­пол­нен­ных до­ма­шек. За­тра­ты на об­ра­бот­ку x пе­та­байт дан­ных равны млн руб. в год. При­быль с про­да­жи об­ра­бо­тан­ных дан­ных по цене p млн руб. за пе­та­байт со­ста­вит Важ­ное огра­ни­че­ние: из-за сла­бой си­сте­мы охла­жде­ния (си­сад­мин по­ста­вил ком­нат­ный вен­ти­ля­тор), сер­ве­ры фи­зи­че­ски не могут об­ра­ба­ты­вать более 8 пе­та­байт дан­ных в год Ком­па­ния на­стра­и­ва­ет на­груз­ку так, чтобы при­быль была наи­боль­шей. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p сер­ве­ры оку­пят­ся не более чем за 2 года?

В рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Из вер­ши­ны C опу­ще­на вы­со­та CH.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AO яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром к от­рез­ку BH.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тра­пе­ции, если ра­ди­ус впи­сан­ной в неё окруж­но­сти равен 4, а длина от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми, равна 

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно 1 ко­рень.

Изоб­ре­та­тель-са­мо­уч­ка Ака­кий Ше­сте­рен­кин взял у су­ро­во­го ро­стов­щи­ка Пор­фи­рия Кро­во­пий­це­ва кре­дит на S руб­лей на срок n ме­ся­цев. Усло­вия Пор­фи­рия без­жа­лост­ны:

—  каж­дый месяц долг Ака­кия воз­рас­та­ет на 50% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  после этого Ака­кий при­но­сит пла­теж (стро­го в целых руб­лях, сдачи Пор­фи­рий не дает);

—  долг дол­жен по­га­шать­ся диф­фе­рен­ци­ро­ван­но: каж­дый месяц после пла­те­жа оста­ток долга дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на конец преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Из­вест­но, что ни в один из ме­ся­цев Ака­кию не при­ш­лось де­лить рубли на ко­пей­ки (все еже­ме­сяч­ные пла­те­жи  — целые числа). Пусть M  — общая сумма руб­лей, вы­пла­чен­ная за n ме­ся­цев.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что общая сумма вы­плат M ровно в 2 раза пре­вы­си­ла раз­мер займа S?

б)  Ака­кий под­счи­тал, что число M яв­ля­ет­ся про­стым. Воз­мож­но ли это при

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния суммы займа S, если из­вест­но, что срок кре­ди­та раз­ность между пер­вым и вто­рым пла­те­жом со­ста­ви­ла ровно 1 рубль, а общая сумма вы­плат M в точ­но­сти равна квад­ра­ту не­ко­то­ро­го про­сто­го числа.