Пусть завод за­ку­пит x стан­ков пер­во­го типа и y стан­ков вто­ро­го типа. Тогда, спра­вед­ли­ва си­сте­ма не­ра­венств:

Тре­бу­ет­ся найти, при каких зна­че­ни­ях x и yдо­сти­га­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния

За­ме­тим, что x и y  — не­от­ри­ца­тель­ные целые числа. При этом наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние x равно 7: в про­тив­ном слу­чае вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы не вы­пол­ня­ет­ся. При каж­дом зна­че­нии x зна­че­ние вы­ра­же­ния тем боль­ше, чем боль­ше зна­че­ние y. Решим за­да­чу пе­ре­бо­ром. Для каж­до­го зна­че­ния x найдём наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние y, при ко­то­ром верна си­сте­ма (*), а также зна­че­ние вы­ра­же­ния

Зна­че­ние x	Наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние y	Зна­че­ние
0	11	33
1	10	35
2	8	34
3	7	36
4	5	35
5	3	34
6	2	36
7	0	35

Таким об­ра­зом, чтобы про­из­во­дить за смену наи­боль­шее ко­ли­че­ство про­дук­ции, за­во­ду не­об­хо­ди­мо за­ку­пить 3 стан­ка пер­во­го типа и 7 стан­ков вто­ро­го типа или 6 стан­ков пер­во­го типа и 2 стан­ка вто­ро­го типа. За­ме­тим также, что вто­рая ком­би­на­ция обойдётся за­во­ду де­шев­ле на 3 млн руб.

Ответ: 3 стан­ка пер­во­го типа и 7 стан­ков вто­ро­го типа или 6 стан­ков пер­во­го типа и 2 стан­ка вто­ро­го типа.

При­ме­ча­ние.

Пе­ре­бор можно за­ме­нить гра­фи­че­ским ис­сле­до­ва­ни­ем. Изоб­ра­зим ре­ше­ние си­сте­мы (*) и се­мей­ство пря­мых (см. рис., це­ло­чис­лен­ные ре­ше­ния си­сте­мы изоб­ра­же­ны цвет­ны­ми точ­ка­ми).

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию a со­от­вет­ству­ет такое по­ло­же­ние пря­мой, при ко­то­ром пря­мая про­хо­дит хотя бы через одно це­ло­чис­лен­ное ре­ше­ние си­сте­мы, и нет це­ло­чис­лен­ных ре­ше­ний, ле­жа­щих выше пря­мой (изоб­ра­же­но крас­ным цве­том). Из ри­сун­ка видно, что ис­ко­мые зна­че­ния пе­ре­мен­ных со­от­вет­ству­ют либо 3 стан­кам пер­во­го типа и 7 стан­кам вто­ро­го типа, либо 6 стан­кам пер­во­го типа и 2 стан­кам вто­ро­го типа.