Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 531561

Завод закупает станки двух типов, на приобретение которых выделено 34 миллиона рублей. Станок первого типа занимает площадь 7 м2 (с учетом проходов), производит за смену 5000 единиц продукции и стоит 4 миллиона рублей. Станок второго типа занимает площадь 4 м2 (с учетом проходов), производит за смену 3000 единиц продукции и стоит 3 миллиона рублей. Станки должны быть размещены на площади, не превышающей 50 м2. Сколько станков каждого типа нужно приобрести, чтобы производить за смену наибольшее количество продукции?

Спрятать решение

Решение.

Пусть завод закупит x станков первого типа и y станков второго типа. Тогда, справедлива система неравенств:

 система выражений 4x плюс 3y\leqslant34,7x плюс 4y\leqslant50. конец системы .      (*)

Требуется найти, при каких значениях x и yдостигается наибольшее значение выражения 5x плюс 3y.

Заметим, что x и y — неотрицательные целые числа. При этом наибольшее возможное значение x равно 7: в противном случае второе неравенство системы не выполняется. При каждом значении x значение выражения 5x плюс 3y тем больше, чем больше значение y. Решим задачу перебором. Для каждого значения x найдём наибольшее возможное значение y, при котором верна система (*), а также значение выражения 5x плюс 3y.

 

Значение
x
Наибольшее возможное
значение y
Значение
5x плюс 3y
01133
11035
2834
3736
4535
5334
6236
7035

 

Таким образом, чтобы производить за смену наибольшее количество продукции, заводу необходимо закупить 3 станка первого типа и 7 станков второго типа или 6 станков первого типа и 2 станка второго типа. Заметим также, что вторая комбинация обойдётся заводу дешевле на 3 млн руб.

 

Ответ: 3 станка первого типа и 7 станков второго типа или 6 станков первого типа и 2 станка второго типа.

 

 

Примечание:

Перебор можно заменить графическим исследованием. Изобразим решение системы (*) и семейство прямых 5x плюс 3y=a (см. рис., целочисленные решения системы изображены цветными точками).

Наибольшему возможному значению a соответствует такое положение прямой, при котором прямая проходит хотя бы через одно целочисленное решение системы, и нет целочисленных решений, лежащих выше прямой (изображено красным цветом). Из рисунка видно, что искомые значения переменных соответствуют либо 3 станкам первого типа и 7 станкам второго типа, либо 6 станкам первого типа и 2 станкам второго типа.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299.
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор