СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 531561

Завод закупает станки двух типов, на приобретение которых выделено 34 миллиона рублей. Станок первого типа занимает площадь 7 м2 (с учетом проходов), производит за смену 5000 единиц продукции и стоит 4 миллиона рублей. Станок второго типа занимает площадь 4 м2 (с учетом проходов), производит за смену 3000 единиц продукции и стоит 3 миллиона рублей. Станки должны быть размещены на площади, не превышающей 50 м2. Сколько станков каждого типа нужно приобрести, чтобы производить за смену наибольшее количество продукции?

Решение.

Пусть завод закупит x станков первого типа и y станков второго типа. Тогда, справедлива система неравенств:

      (*)

Требуется найти, при каких значениях x и yдостигается наибольшее значение выражения

Заметим, что x и y — неотрицательные целые числа. При этом наибольшее возможное значение x равно 7: в противном случае второе неравенство системы не выполняется. При каждом значении x значение выражения тем больше, чем больше значение y. Решим задачу перебором. Для каждого значения x найдём наибольшее возможное значение y, при котором верна система (*), а также значение выражения

 

Значение
x
Наибольшее возможное
значение y
Значение
01133
11035
2834
3736
4535
5334
6236
7035

 

Таким образом, чтобы производить за смену наибольшее количество продукции, заводу необходимо закупить 3 станка первого типа и 7 станков второго типа или 6 станков первого типа и 2 станка второго типа. Заметим также, что вторая комбинация обойдётся заводу дешевле на 3 млн руб.

 

Ответ: 3 станка первого типа и 7 станков второго типа или 6 станков первого типа и 2 станка второго типа.

 

 

Примечание:

Перебор можно заменить графическим исследованием. Изобразим решение системы (*) и семейство прямых (см. рис., целочисленные решения системы изображены цветными точками).

Наибольшему возможному значению a соответствует такое положение прямой, при котором прямая проходит хотя бы через одно целочисленное решение системы, и нет целочисленных решений, лежащих выше прямой (изображено красным цветом). Из рисунка видно, что искомые значения переменных соответствуют либо 3 станкам первого типа и 7 станкам второго типа, либо 6 станкам первого типа и 2 станкам второго типа.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299.