ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 633982 Добавить в вариант

Строительство нового цеха по производству роботов-⁠пылесосов стоит 300 миллионов рублей. Затраты на производство x тысяч единиц продукции на такой линии равны $0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100$ млн руб. в год. Если продукцию продавать по цене p тыс. руб. за единицу, то прибыль фирмы (в млн руб.) за один год составит $p x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка$ млн руб. Когда цех будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки цеха цена продукции p  =  12 тыс. руб. за единицу, каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство цеха?

Спрятать решение

Решение.

Строительство цеха окупится, когда суммарная прибыль за первые несколько лет окажется не меньше 300  млн  руб. Прибыль фирмы (в млн руб.) за первый год составит

$P_1=12 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 9 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 45 умножить на x минус 45 в квадрате плюс 45 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 45 правая круглая скобка в квадрате плюс 1025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 102,5.$ $P_1=12 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 9 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 45 умножить на x минус 45 в квадрате плюс 45 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 45 правая круглая скобка в квадрате плюс 1025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 102,5.$ $P_1=12 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка =$
$= минус 0,1 x в квадрате плюс 9 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 45 умножить на x минус 45 в квадрате плюс 45 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 45 правая круглая скобка в квадрате плюс 1025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 102,5.$

Из полученной оценки следует, что максимальная прибыль в первый год равна 102,5  млн  руб. Она достигается при выпуске 45 тыс. единиц продукции. Максимальная прибыль в первый год меньше потраченных на строительство 300 млн руб., поэтому за первый год строительство не окупится.

Прибыль фирмы (в млн руб.) за второй год составит

$P_2=13 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 10 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 50 умножить на x минус 50 в квадрате плюс 50 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 50 правая круглая скобка в квадрате плюс 1500, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 150.$ $P_2=13 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 10 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 50 умножить на x минус 50 в квадрате плюс 50 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 50 правая круглая скобка в квадрате плюс 1500, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 150.$ $P_2=13 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка =$
$= минус 0,1 x в квадрате плюс 10 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 50 умножить на x минус 50 в квадрате плюс 50 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 50 правая круглая скобка в квадрате плюс 1500, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 150.$

Таким образом, максимальная прибыль во второй год равна 150  млн  руб. Она достигается при выпуске 50 тыс. единиц продукции. Суммарная максимальная прибыль в первые два года равна

$102,5 плюс 150=252,5$ млн руб.,

что меньше 300 млн руб., значит, за два года строительство не окупится.

Прибыль фирмы (в млн рублей) за третий год составит

$P_3=14 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 11 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 55 умножить на x минус 55 в квадрате плюс 55 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 55 правая круглая скобка в квадрате плюс 2025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 202,5.$ $P_3=14 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка = минус 0,1 x в квадрате плюс 11 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 55 умножить на x минус 55 в квадрате плюс 55 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 55 правая круглая скобка в квадрате плюс 2025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 202,5.$ $P_3=14 x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка =$
$= минус 0,1 x в квадрате плюс 11 x минус 100=$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2 умножить на 55 умножить на x минус 55 в квадрате плюс 55 в квадрате минус 1000, знаменатель: 10 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус левая круглая скобка x минус 55 правая круглая скобка в квадрате плюс 2025, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно 202,5.$

Следовательно, максимальная прибыль равна 202,5  млн  руб. Она достигается при выпуске 55 тыс. единиц продукции. Суммарная максимальная прибыль в первые три года равна

$102,5 плюс 150 плюс 202,5=455$  млн руб.,

что превышает потраченные на строительство 300  млн  руб. Тем самым строительство окупится за три года.

Ответ: за три года.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 404

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь