Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 562190

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки 200p рублей. Если на втором объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки (50p + 300) руб. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

Спрятать решение

Решение.

Составим таблицу исходя из данных условия задачи.

 

Количество рабочихЗаработная плата (руб/сут) на 1 рабочего
Первый объектp200p
Второй объект30 − p50(30 минус p) плюс 300
Всего:30200p в квадрате плюс (50(30 минус p) плюс 300)(30 минус p) = 250p в квадрате минус 3300p плюс 54000

Пусть f(p) = 250p в квадрате минус 3300p плюс 54000 равносильно f'(p) = 500p минус 3300;

f'(p) = 0 равносильно 500p минус 3300 = 0 равносильно p = дробь: числитель: 33, знаменатель: 5 конец дроби .

Наименьшее значение функции достигается при p = дробь: числитель: 33, знаменатель: 5 конец дроби . По условию p — это натуральное число, поэтому найдем значения функции при p = 6 и p = 7:

f(6) = 250 умножить на (6) в квадрате минус 3300 умножить на (6) плюс 54000 = 43200,

f(7) = 250 умножить на (7) в квадрате минус 3300 умножить на (7) плюс 54000 = 43150.

Тогда 43150 рублей — наименьшая суточная зарплата всем рабочим, достигается при p = 7.

Так как p = 7, то на первый объект следует отправить 7 рабочих, а на второй —

30 минус 7 = 23.

 

Ответ: 1-й объект — 7 человек, 2-й объект — 23 человека; 43 150 рублей.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор