Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Бри­га­ду из 30 ра­бо­чих нужно рас­пре­де­лить по двум объ­ек­там. Если на пер­вом объ­ек­те ра­бо­та­ет p че­ло­век, то каж­дый из них по­лу­ча­ет в сутки 200p  руб­лей. Если на вто­ром объ­ек­те ра­бо­та­ет p че­ло­век, то каж­дый из них по­лу­ча­ет в сутки (50p + 300) руб. Как нужно рас­пре­де­лить ра­бо­чих по объ­ек­там, чтобы их сум­мар­ная су­точ­ная зар­пла­та ока­за­лась наи­мень­шей? Сколь­ко руб­лей в этом слу­чае придётся за­пла­тить за сутки всем ра­бо­чим?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

 

Ко­ли­че­ство ра­бо­чихЗа­ра­бот­ная плата (руб./⁠сут) на 1 ра­бо­че­го
Пер­вый объ­ектp200p
Вто­рой объ­ект30 − p50 левая круг­лая скоб­ка 30 минус p пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 300
Всего:30200p в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 50 левая круг­лая скоб­ка 30 минус p пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 300 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 30 минус p пра­вая круг­лая скоб­ка = 250p в квад­ра­те минус 3300p плюс 54000

 

Пусть f левая круг­лая скоб­ка p пра­вая круг­лая скоб­ка = 250p в квад­ра­те минус 3300p плюс 54 000. Квад­рат­ный трех­член с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет ми­ни­му­ма в точке p = минус дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: конец дроби 2a = дробь: чис­ли­тель: 33, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . По усло­вию p  — это на­ту­раль­ное число. Най­дем и срав­ним зна­че­ния функ­ции при p  =  6 и p  =  7:

f левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка = 250 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3300 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 54000 = 43200,

f левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка = 250 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3300 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 54000 = 43150.

Наи­мень­шая су­точ­ная зар­пла­та всем ра­бо­чим, до­сти­га­ет­ся при p  =  7. Сле­до­ва­тель­но, на пер­вый объ­ект сле­ду­ет от­пра­вить 7 ра­бо­чих, а на вто­рой  — 23 ра­бо­чих.

 

Ответ: 1-⁠й объ­ект  — 7 че­ло­век, 2-⁠й объ­ект  — 23 че­ло­ве­ка; 43 150 руб­лей.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: За­да­чи на оп­ти­маль­ный выбор
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние про­из­вод­ной для на­хож­де­ния наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ния