Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 652138
i

У фер­ме­ра есть два ком­бай­на. Оба ком­бай­на ис­поль­зу­ют­ся для убор­ки зер­но­вых, но вто­рой ком­байн более со­вре­мен­ный. В ре­зуль­та­те, если пер­вый ком­байн ра­бо­та­ет m2 часов, то за это время он со­би­ра­ет 8m т зер­но­вых; если вто­рой ком­байн ра­бо­та­ет m2 часов, то за это время он со­би­ра­ет 15m т зер­но­вых. За каж­дый час ра­бо­ты фер­мер пла­тит каж­до­му ком­бай­не­ру 200 руб­лей. Фер­мер готов вы­де­лять 20 000 руб­лей на опла­ту труда ком­бай­не­ров. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство тонн зер­но­вых можно со­брать на эти день­ги с по­мо­щью двух ком­бай­нов?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Фер­мер готов опла­тить  дробь: чис­ли­тель: 20 000, зна­ме­на­тель: 200 конец дроби =100  часов ра­бо­ты ком­бай­нов. Пусть пер­вый ком­байн будет ра­бо­тать y2 часов и соберёт 8y т зер­но­вых, тогда вто­рой ком­байн будет ра­бо­тать 100 минус y в квад­ра­те  часов и соберёт 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 100 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та  т зер­но­вых. Зна­чит, всего будет со­бра­но m=8y плюс 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 100 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та  т зер­но­вых. По смыс­лу за­да­чи 0 мень­ше или равно y мень­ше или равно 10.

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции m левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка =8y плюс 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 100 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 10 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Най­дем про­из­вод­ную:

m' левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка = 8 плюс дробь: чис­ли­тель: 15}2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: минус 2y, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 100 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = 8 минус дробь: чис­ли­тель: 15y, зна­ме­на­тель: ко­рень из { 100 минус y в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: к конец дроби онец дроби .

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю и найдём кри­ти­че­ские точки:

8 минус дробь: чис­ли­тель: 15y, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 100 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = 0 рав­но­силь­но y = дробь: чис­ли­тель: 80, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби .

Функ­ция до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке мак­си­му­ма:

m левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 80, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 80, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби плюс 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 100 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 80, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =170.

Таким об­ра­зом, за­тра­тив 20 000 руб., можно со­брать самое боль­шее 170 т зер­но­вых.

 

Ответ: 170.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 449
Классификатор алгебры: За­да­чи на оп­ти­маль­ный выбор