а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S от­ме­че­ны точки A, B и C так, что от­ре­зок AB  — диа­метр ос­но­ва­ния. Угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью его ос­но­ва­ния равен 45°.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти SBC, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 5, а

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ува­жа­е­мый пред­при­ни­ма­тель Арсен от­крыл на трас­се М-⁠4 два пре­ми­аль­ных за­ве­де­ния: элит­ную шаш­лыч­ную «Зо­ло­той шам­пур» и VIP-ав­то­мой­ку «Чи­стый Лев». На лет­ние ка­ни­ку­лы из род­но­го аула к Ар­се­ну при­е­ха­ли 60 пле­мян­ни­ков, ко­то­рых нужно при­стро­ить к делу. Каж­дый день Арсен дол­жен рас­пре­де­лить всех 60 пле­мян­ни­ков между двумя биз­не­са­ми.

—  Если на шаш­лыч­ную от­прав­ле­но x пле­мян­ни­ков, то из-за того, что они на­чи­на­ют спо­рить, чей ма­ри­над лучше, и по­сто­ян­но от­вле­ка­ют­ся на про­из­не­се­ние то­стов за здо­ро­вье кли­ен­тов, еже­днев­ная вы­руч­ка (в ты­ся­чах руб­лей) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

—  Если на ав­то­мой­ке ра­бо­та­ет y пле­мян­ни­ков, то из-за того, что они устра­и­ва­ют со­рев­но­ва­ния по лез­гин­ке с ак­тив­ной пеной и бес­плат­но моют за­ни­жен­ные При­о­ры всех зна­ко­мых, вы­руч­ка (в ты­ся­чах руб­лей) со­став­ля­ет:

Как Арсен дол­жен рас­пре­де­лить пле­мян­ни­ков между шаш­лыч­ной и ав­то­мой­кой, чтобы сум­мар­ная еже­днев­ная вы­руч­ка была наи­боль­шей и он быст­рее на­ко­пил на новый «Ге­ленд­ва­ген»? Ка­ко­ва будет эта мак­си­маль­ная вы­руч­ка (в ты­ся­чах руб­лей)?

Пер­вая окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC (AB  =  AC), ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке P, а ос­но­ва­ния BC  — в точке M. Вто­рая окруж­ность (внев­пи­сан­ная), ка­са­ю­ща­я­ся ос­но­ва­ния BC и про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон, ка­са­ет­ся пря­мой AB в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка PMQ, сов­па­да­ет с вер­ши­ной B.

б)  Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что PQ  =  12, а рас­сто­я­ние между цен­тра­ми пер­вой и вто­рой окруж­но­стей равно 15.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

Дядя Вахид ор­га­ни­зу­ет гран­ди­оз­ное за­сто­лье по слу­чаю сва­дьбы пле­мян­ни­ка. Из сво­е­го сун­ду­ка он вы­де­лил ровно 800 зо­ло­тых монет на глав­ные ат­ри­бу­ты празд­ни­ка.

В прайс-листе луч­ше­го та­ма­ды рай­о­на есть три по­зи­ции:

—  Шам­пу­ры с ба­ра­ньим шаш­лы­ком (цена  — 15 монет за штуку);

—  Рез­ные рога для дол­гих то­стов (цена  — 28 монет за штуку);

—  Руч­ные кав­каз­ские орлы для кра­си­вых фо­то­гра­фий (цена  — 71 мо­не­та за штуку).

Дядя Вахид чтит тра­ди­ции, по­это­му каж­до­го пунк­та нужно за­ка­зать хотя бы по од­но­му. Кроме того, как гла­сит не­пи­са­ный закон го­сте­при­им­ства: ко­ли­че­ство шам­пу­ров шаш­лы­ка долж­но быть стро­го боль­ше ко­ли­че­ства рогов для то­стов (чтобы гости сна­ча­ла по­ку­ша­ли, а потом пили), а ко­ли­че­ство рогов  — стро­го боль­ше ко­ли­че­ства орлов (иначе птицы пе­ре­кри­чат всех во время тоста).

а)  Мог ли дядя Вахид за­ка­зать ровно 40 пред­ме­тов сум­мар­но?

б)  Мог ли дядя Вахид за­ка­зать ровно 30 пред­ме­тов сум­мар­но?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство шам­пу­ров шаш­лы­ка может за­ка­зать дядя Вахид, чтобы не на­ру­шить древ­ние за­ко­ны го­сте­при­им­ства?