а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Через се­ре­ди­ну вы­со­ты пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD па­рал­лель­но ос­но­ва­нию про­ве­де­но се­че­ние A₁B₁C₁D₁, диа­го­на­ли ко­то­ро­го пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O₁. На реб­рах AD и SB от­ме­че­ны точки K и М со­от­вет­ствен­но так, что AK : KD  =  3 : 5, SM : MB  =  3 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KMO₁ па­рал­лель­на SA.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью KМО₁ и плос­ко­стью АВС, если бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды SABCD на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60°.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ари­старх от­крыл пред­при­я­тие, ко­то­рое за пер­вый год после от­кры­тия при­нес­ло доход 2450 тыс. руб., од­на­ко по­тре­бо­ва­ло вло­же­ний в раз­ме­ре 4 100 тыс. руб. Впо­след­ствии доход еже­год­но уве­ли­чи­вал­ся на 600 тыс. руб., а не­об­хо­ди­мые еже­год­ные вло­же­ния умень­ша­лись на 500 тыс. руб. Через сколь­ко лет со дня от­кры­тия пред­при­я­тия сумма всех вло­же­ний по­кро­ет­ся до­хо­дом за это время?

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка Е  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD, F  — се­ре­ди­на ВЕ, K  — се­ре­ди­на FD, М  — се­ре­ди­на СK.

а)  До­ка­жи­те, что точки Е, K и С лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BFKM, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 50.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства

яв­ля­ет­ся от­ре­зок дли­ной 1.

На­ту­раль­ное число будем на­зы­вать сим­мет­рич­ным, если оно сов­па­да­ет с чис­лом, за­пи­сан­ным теми же циф­ра­ми в об­рат­ном по­ряд­ке.

а)  Сколь­ко су­ще­ству­ет че­ты­рех­знач­ных сим­мет­рич­ных чисел?

б)  Че­ты­рех­знач­ные сим­мет­рич­ные числа раз­де­ли­ли на 11. Сколь­ко при этом по­лу­чи­лось трех­знач­ных сим­мет­рич­ных чисел?

в)  Из каких трех­знач­ных сим­мет­рич­ных чисел при умно­же­нии на 11 по­лу­ча­ют­ся сим­мет­рич­ные че­ты­рех­знач­ные числа?