1. Тип 13 № 500111 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Запишем уравнение в виде
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 
Получим числа: 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 500111
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
принадлежат корни 
и 
б) 
то 
то 
При 
решений нет. Разделим обе части уравнения на 
Получаем 
принадлежат корни 
и 
б) 
Находим: 
б) 
б) 
или 
откуда 
или 
где 
корни отберем с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
Получим точку 
б) 
не имеет корней. Имеем 
то 
это невозможно. Это однородное уравнение первой степени, разделим обе его части на 
принадлежат корни 
и 
(см. рис.).
б) 
Получим числа 
б) 
б) 
б) 
б) 
или 
откуда 
или 
где 
где 
б) 
и 
б) 
откуда 
или 
откуда 
или 
Получим числа 
б) 
б) 
б) 
б) 
Умножим на 
при этом условии и разложим на множители:
и 
б) 
б) 
Следовательно, 
Получим корни (см. рис.): 
б) 
или 
Из второго уравнения находим 
Следовательно, 
или 
б) 
отберём с помощью
с помощью неравенств:
где 
б) 
получим уравнение
б) 
и 
при любом x, следовательно, оба слагаемых не больше 0, поэтому их сумма может быть равна 0, только если слагаемые одновременно равны 0:
Обозначим 
тогда 
б) 
записав левую часть в виде полного квадрата 
Можно было найти дискриминант 
и прийти к выводу, что уравнение имеет единственный корень
Обозначим 
б) 
Обозначим 
тогда 
поэтому из первой серии в него может попасть не более двух корней, а из второй и третьей — не более одного корня. Из первой серии решениями, лежащими в отрезке, являются числа 
и 
из второй — 
Ни один из членов третьей серии не попадает в заданный отрезок, поскольку число 
соответствующее 
лежит левее отрезка, а число 
соответствующее 
уже правее отрезка.
б) 
и 
б) 
с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: 
б) 
получим:
равна 
поэтому из первой серии в него может попасть не больше двух членов; это числа 2π и 3π, а из второй серии — не более одного; это число 
б) 
Далее вынесем общий множитель за скобки, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, заметим полный квадрат:
равна 
а расстояние между соседними членами первой серии равно π. Поэтому из первой серии найденных решений в этот отрезок могут попасть не более двух членов; это числа 
при 
и 
при 
Соседние члены второй и третьей серии отличаются на 2π, поэтому в заданный отрезок может попасть не более одного члена из каждой серии. Это числа 
и 
соответственно, соответствующие 
но последнее в интервал не попадает.
б) 
разложим на множители:
б) 
и 
б) 
отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Подходит 
и 
б) 
б) 
при помощи тригонометрической окружности. Получим числа 
0, 
и 
б) 
б) 
б) 
б) 
0, 
б) 
тогда:
б) −2π.
и формулу синуса двойного угла 
получаем:
б) 
По формуле синуса двойного угла: 
Тогда исходное уравнение примет вид 
Выносим 
б) 
откуда получаем:
Получим: 
Проверим следующую серию:
Проверим следующую серию:
б) 
и 
б) 
Преобразуем уравнение при этом ограничении:
б) 
и 
Рассмотрим вторую серию:
Для третьей серии находим:
с помощью тригонометрической окружности. Получим числа: 
и 
и 
находим:
получаем:
получаем:
принадлежат 
б) 
б) 
б) 
отберем при помощи тригонометрической окружности. Подходят 
отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Подходят 
Для второй серии:
равна 
то есть больше 2π, но меньше 4π. Для отбора корней используем две тригонометрические окружности. 
Для второй серии корней:
и 
то есть при 
где 
Перейдем к следствию, умножив обе части уравнения на 
отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Подходят 
