ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 682614 Добавить в вариант

a)  Решите уравнение $2 косинус в кубе x минус 2 косинус x плюс синус в квадрате x = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Применим основное тригонометрическое тождество, разложим на множители:

$2 косинус в кубе x минус 2 косинус x плюс синус в квадрате x = 0 равносильно 2 косинус в кубе x минус 2 косинус x плюс 1 минус косинус в квадрате x = 0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = минус 1, косинус x = 1, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус в кубе x минус 2 косинус x плюс синус в квадрате x = 0 равносильно 2 косинус в кубе x минус 2 косинус x плюс 1 минус косинус в квадрате x = 0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = минус 1, косинус x = 1, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус в кубе x минус 2 косинус x плюс синус в квадрате x = 0 равносильно 2 косинус в кубе x минус 2 косинус x плюс 1 минус косинус в квадрате x = 0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = минус 1, косинус x = 1, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус в кубе x минус 2 косинус x плюс синус в квадрате x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в кубе x минус 2 косинус x плюс 1 минус косинус в квадрате x = 0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = минус 1, косинус x = 1, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят числа $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $2 Пи ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $3 Пи .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $2 Пи ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $3 Пи .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 682614: 682680 Все

Источник: ЕГЭ по математике 04.07.2024. Добровольная пересдача. Санкт-Петербург. Вариант 1

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Основные тригонометрические тождества

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь