Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 562150
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­си­нус 2x минус синус 2x= ко­си­нус x плюс синус x плюс 1.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

ко­си­нус 2x минус синус 2x= ко­си­нус x плюс синус x плюс 1 рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x = ко­си­нус x плюс синус x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус в квад­ра­те x плюс 2 синус x ко­си­нус x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x = ко­си­нус x плюс синус x плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x минус 1 минус левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 2 синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

При­рав­ня­ем каж­дую скоб­ку к нулю:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x плюс синус x = 0, минус 2 синус x минус 1 = 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x = минус ко­си­нус x, синус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k ,x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка с по­мо­щью не­ра­венств:

минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k мень­ше или равно минус Пи рав­но­силь­но минус 10 мень­ше или равно минус 1 плюс 4k мень­ше или равно минус 4 рав­но­силь­но минус 9 мень­ше или равно 4k мень­ше или равно минус 3;

сле­до­ва­тель­но, k = минус 1; k = минус 2.

По­лу­чим:

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 2 Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Вто­рой ко­рень:

минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно минус Пи рав­но­силь­но минус 15 мень­ше или равно минус 1 плюс 12k мень­ше или равно минус 6 рав­но­силь­но минус 14 мень­ше или равно 12k мень­ше или равно минус 5,

тогда k = минус 1.

При под­став­ле­нии дан­но­го k по­лу­чим:

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус 2 Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Тре­тий ко­рень:

минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно минус Пи рав­но­силь­но минус 15 мень­ше или равно минус 5 плюс 12k мень­ше или равно минус 6 рав­но­силь­но минус 10 мень­ше или равно 12k мень­ше или равно минус 1 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 12.

Дан­ное не­ра­вен­ство не имеет целых ре­ше­ний.

 

Ответ:

а)   левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , где k при­над­ле­жит Z; пра­вая фи­гур­ная скоб­ка

б)   минус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025