Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 671985
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = 2 ко­рень из 2 .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что урав­не­ние не опре­де­ле­но при x= дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , k при­над­ле­жит Z . Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при этом огра­ни­че­нии:

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = 2 ко­рень из 2 рав­но­силь­но синус x плюс ко­си­нус x = 2 ко­рень из 2 синус x ко­си­нус x рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус 2x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус 2x=0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0, синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = Пи k, конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс Пи k, дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k}3, x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , k при­над­ле­жит \mathbb{Z, зна­ме­на­тель: . конец дроби

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

минус 3 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби рав­но­силь­но минус целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 мень­ше или равно k мень­ше или равно минус целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k = минус 3, k = минус 4. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям k со­от­вет­ству­ют корни минус дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026