При­зе­ра­ми олим­пи­а­ды стали 18 че­ло­век, что со­ста­ви­ло 10% от участ­ву­ю­щих. Сколь­ко всего че­ло­век участ­во­ва­ло в олим­пиа­де?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1973 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 11 изоб­ражён па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те длину его боль­шей вы­со­ты.

В груп­пе ту­ри­стов 8 че­ло­век. С по­мо­щью жре­бия они вы­би­ра­ют ше­сте­рых че­ло­век, ко­то­рые долж­ны идти в село в ма­га­зин за про­дук­та­ми. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ту­рист Г., вхо­дя­щий в со­став груп­пы, пойдёт в ма­га­зин?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 45°, угол BAD равен 30°, AD  — бис­сек­три­са. Най­ди­те угол C.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 9). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 18. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объём и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем где и   — дав­ле­ние газа (в ат­мо­сфе­рах) в на­чаль­ном и ко­неч­ном со­сто­я­ни­ях, и   — объём газа (в лит­рах) в на­чаль­ном и ко­неч­ном со­сто­я­ни­ях. Из­на­чаль­но объём газа равен 224 л, а дав­ле­ние газа равно одной ат­мо­сфе­ре. До ка­ко­го объёма нужно сжать газ, чтобы дав­ле­ние в со­су­де стало 128 ат­мо­сфер? Ответ дайте в лит­рах.

Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да A в город B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 104 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но со ско­ро­стью на 5 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 5 часов. В ре­зуль­та­те он за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из A в B. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник ABC. На пря­мой AA₁ от­ме­че­на точка D так, что A₁  — се­ре­ди­на AD. На пря­мой B₁C₁ от­ме­че­на точка E так, что C₁  — се­ре­ди­на B₁E.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁B₁ и DE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и DE, если AB  =  4, а AA₁  =  1.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность с цен­тром О, по­стро­ен­ная на ка­те­те AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу AB в точ­ках A и D. Ка­са­тель­ная, про­ве­ден­ная к этой окруж­но­сти в точке D, пе­ре­се­ка­ет катет BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  CM.

б)  Пря­мая DM пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке P, пря­мая OM пе­ре­се­ка­ет пря­мую BP в точке K. Най­ди­те BK : KP, если

15 де­каб­ря 2024 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 31 месяц. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 30-⁠й (с ян­ва­ря 2025 года по июнь 2027 года вклю­чи­тель­но) долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  15 июня 2027 года долг со­ста­вит 100 тысяч руб­лей;

—  15 июля 2027 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 555 тысяч руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы два раз­лич­ных корня.

Пер­вый член ко­неч­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел равен 128. Из­вест­но, что в про­грес­сии не мень­ше трех чисел.

а)  Может ли число 686 яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

б)  Может ли число 496 яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

в)  Какое наи­боль­шее число может яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?