Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 563557
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2 синус в кубе x плюс синус x плюс 2 ко­рень из 2 = 2 ко­рень из 2 ко­си­нус в квад­ра­те x.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По ос­нов­но­му три­го­но­мет­ри­че­ско­му тож­де­ству ко­си­нус в квад­ра­те x = 1 минус синус в квад­ра­те x. Обо­зна­чим t = синус x, тогда

2 t в кубе плюс t плюс 2 ко­рень из 2 = 2 ко­рень из 2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус t в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2 t в кубе плюс 2 ко­рень из 2 t в квад­ра­те плюс t = 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но t левая круг­лая скоб­ка 2 t в квад­ра­те плюс 2 ко­рень из 2 t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но t левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t = 0,t = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x = 0, синус x = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 }2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = Пи k, x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит \mathbb{Z, зна­ме­на­тель: . конец дроби

Чтобы отобрать корни, ле­жа­щие на за­дан­ном от­рез­ке, вос­поль­зу­ем­ся три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­стью (см. рис.). По­лу­чим корни минус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус 2 Пи , минус Пи .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, Пи k, дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус 2 Пи , минус Пи .

 

При­ме­ча­ние.

Мы ре­ши­ли урав­не­ние 2 t в квад­ра­те плюс 2 ко­рень из 2 t плюс 1=0, за­пи­сав левую часть в виде пол­но­го квад­ра­та левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . Можно было найти дис­кри­ми­нант D = левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 8 = 0 и прий­ти к вы­во­ду, что урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень

t = минус дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: конец дроби 2a = минус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 563557: 563594 Все

Источники:
Классификатор алгебры: Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та, Све­де­ние к од­но­род­но­му
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025