Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 563613
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 4 ко­си­нус в кубе x минус 2 ко­рень из 3 ко­си­нус 2 x плюс 3 ко­си­нус x= 2 ко­рень из 3 .

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 2 Пи ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По фор­му­ле ко­си­ну­са двой­но­го угла ко­си­нус 2x = 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1. Обо­зна­чим t = ко­си­нус x, тогда

4 t в кубе минус 2 ко­рень из 3 левая круг­лая скоб­ка 2t в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3t = 2 ко­рень из 3 рав­но­силь­но 4 t в кубе минус 4 ко­рень из 3 t в квад­ра­те плюс 3t = 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но t левая круг­лая скоб­ка 4 t в квад­ра­те минус 4 ко­рень из 3 t плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но t левая круг­лая скоб­ка 2t минус ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t = 0,t = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x = 0, ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 }2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит \mathbb{Z, зна­ме­на­тель: . конец дроби

Длина за­дан­но­го от­рез­ка равна дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби Пи , по­это­му из пер­вой серии в него может по­пасть не более двух кор­ней, а из вто­рой и тре­тьей  — не более од­но­го корня. Из пер­вой серии ре­ше­ни­я­ми, ле­жа­щи­ми в от­рез­ке, яв­ля­ют­ся числа дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , из вто­рой  — дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби Пи . Ни один из чле­нов тре­тьей серии не по­па­да­ет в за­дан­ный от­ре­зок, по­сколь­ку число дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , со­от­вет­ству­ю­щее k=0, лежит левее от­рез­ка, а число дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , со­от­вет­ству­ю­щее k=1, уже пра­вее от­рез­ка.

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источники:
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та, Све­де­ние к од­но­род­но­му, Фор­му­лы двой­но­го угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025