ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 667316 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка косинус 4 x плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус косинус 4 x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  По формуле косинуса двойного угла $косинус 4x = 2 косинус в квадрате 2x минус 1,$ откуда получаем:

$корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка косинус 4 x плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус косинус 4 x правая круглая скобка равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус 2 косинус в квадрате 2 x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2 x левая круглая скобка 3 минус 2 косинус в квадрате 2 x правая круглая скобка =0 равносильно 2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2x минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2 x=0, косинус 2 x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , косинус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус 2 x=0, косинус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи }2 плюс Пи k , 2x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка косинус 4 x плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус косинус 4 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус 2 косинус в квадрате 2 x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2 x левая круглая скобка 3 минус 2 косинус в квадрате 2 x правая круглая скобка =0 равносильно 2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2x минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2 x=0, косинус 2 x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , косинус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус 2 x=0, косинус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи }2 плюс Пи k , 2x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка косинус 4 x плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус косинус 4 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус 2 косинус в квадрате 2 x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2 x левая круглая скобка 3 минус 2 косинус в квадрате 2 x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2x минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2 x=0, косинус 2 x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , косинус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус 2 x=0, косинус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи }2 плюс Пи k , 2x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка косинус 4 x плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус косинус 4 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус 2 косинус в квадрате 2 x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2 x левая круглая скобка 3 минус 2 косинус в квадрате 2 x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2x минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2 x=0, косинус 2 x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , косинус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2 x=0, косинус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи }2 плюс Пи k , 2x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка косинус 4 x плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус косинус 4 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 плюс 1 правая круглая скобка =2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 минус 2 косинус в квадрате 2 x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2 x левая круглая скобка 3 минус 2 косинус в квадрате 2 x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 2 x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 2x минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2 x=0, косинус 2 x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , косинус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус 2 x=0, косинус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи }2 плюс Пи k , 2x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$

б)  При помощи тригонометрической окружности (см.  рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Получим: $x_1= минус дробь: числитель: 47 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $x_2= минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $x_3= минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $x_4= минус дробь: числитель: 37 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $x_5= минус дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $x_6= минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ:

а)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи }4 плюс дробь: числитель: Пи k}2, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: {, знаменатель: конец дроби pi, знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: п конец дроби равая фигурная скобка ;$

б)   $минус дробь: числитель: 47 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 37 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 469

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь