а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ со сто­ро­ной ос­но­ва­ния рав­ной 16 на реб­рах AC и A₁C₁ вы­бра­ны со­от­вет­ствен­но точки M и K так, что AM : MC  =  11 : 5, A₁K : KC₁  =  3 : 5, точка N  — се­ре­ди­на BC.

а)  До­ка­жи­те, что точка B₁ лежит в плос­ко­сти KMN.

б)  Най­ди­те AA₁, если AA₁ равно рас­сто­я­нию от точки C₁ до плос­ко­сти KMN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В ок­тяб­ре 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре 800 тыс. руб. на 5 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  в ян­ва­ре 2026, 2027 годов долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  в ян­ва­ре 2028, 2029 и 2030 годов долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по сен­тябрь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в ок­тяб­ре каж­до­го года долг дол­жен быть мень­ше на одну и ту же сумму по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  к ок­тяб­рю 2030 года кре­дит дол­жен быть вы­пла­чен.

Общая сумма всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1332,8 тыс. руб. Най­ди­те r.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке АВСD сто­ро­на AB  =  5, AD  =  5.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­наль BD точ­кой пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей де­лит­ся по­по­лам.

б)  Най­ди­те пло­щадь АВСD, если все от­рез­ки диа­го­на­лей, на ко­то­рые их делит точка пе­ре­се­че­ния, яв­ля­ют­ся це­лы­ми чис­ла­ми.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно три раз­лич­ных корня.

Коля за­пи­сал урав­не­ние ко­то­рое имеет 2 раз­лич­ных на­ту­раль­ных корня x₁ и x₂ (b и c  — не­ко­то­рые числа). Петя за­пи­сал урав­не­ние ко­то­рое имеет 2 раз­лич­ных на­ту­раль­ных корня x₃ и x₄ (d и e  — не­ко­то­рые числа). Маша по­смот­ре­ла на урав­не­ния Коли и Пети и за­пи­са­ла урав­не­ние

а)  Воз­мож­но ли, что урав­не­ние Маши не имеет кор­ней?

б)  Воз­мож­но ли, что урав­не­ние Маши имеет два раз­лич­ных корня и ровно один из них на­ту­раль­ный, если среди чисел x₁, x₂, x₃, x₄ ровно два  — не­чет­ны?

в)  Из­вест­но, что b  =  d и а урав­не­ние Маши имеет два раз­лич­ных на­ту­раль­ных корня. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние