Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 563632

а) Решите уравнение 2 синус в кубе x минус корень из 2 косинус 2 x плюс синус x= минус корень из 2 .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

По формуле косинуса двойного угла  косинус 2x = 1 минус 2 синус в квадрате x. Обозначим t = синус x, тогда

2 t в кубе минус корень из 2 левая круглая скобка 1 минус 2t в квадрате правая круглая скобка плюс t = минус корень из 2 равносильно 2 t в кубе плюс 2 корень из 2 t в квадрате плюс t = 0 равносильно

 равносильно t левая круглая скобка 2 t в квадрате плюс 2 корень из 2 t плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно t левая круглая скобка корень из 2t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно совокупность выражений t = 0,t = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

Вернемся к исходной переменной, получим:

 совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 2 }2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби

Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). Получим корни  2 Пи , 3 Пи ,  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)  2 Пи , 3 Пи ,  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Сибирь, Задания 13 ЕГЭ–2021
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения