а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на диа­го­на­ли BD₁ от­ме­че­на точка N так, что Точка O  — се­ре­ди­на от­рез­ка CB₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая NO про­хо­дит через точку A.

б)  Най­ди­те объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁, если длина от­рез­ка NO равна рас­сто­я­нию между пря­мы­ми BD₁ и CB₁ и равна

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на три года в раз­ме­ре 500 тыс. руб. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — пла­те­жи в 2027 и в 2028 годах долж­ны быть по 100 тыс. руб.;

  — к июлю 2029 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те сумму всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

На сто­ро­не остро­го угла с вер­ши­ной A от­ме­че­на точка B. Из точки B на бис­сек­три­су и дру­гую сто­ро­ну угла опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры BC и BD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Пря­мые AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T най­ди­те от­но­ше­ние если

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

На доске на­пи­са­но N раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 159. Для любых двух на­пи­сан­ных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из на­пи­сан­ных чисел не де­лит­ся на b – a, и ни одно из на­пи­сан­ных чисел не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть на­пи­са­ны какие-то два числа из чисел 28, 29 и 30?

б)  Среди на­пи­сан­ных на доске чисел есть 13. Может ли N быть равно 20?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние N.