Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус 6 Пи x минус ко­си­нус 3 Пи x = ко­рень из 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 3 Пи x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 1 минус ко­рень из 2 ; ко­рень из 2 минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

синус 6 Пи x минус ко­си­нус 3 Пи x = ко­рень из 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 3 Пи x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 рав­но­силь­но 2 синус 3 Пи x ко­си­нус 3 Пи x минус ко­си­нус 3 Пи x = ко­си­нус 3 Пи x плюс синус 3 Пи x минус 1 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 2 синус 3 Пи x ко­си­нус 3 Пи x минус 2 ко­си­нус 3 Пи x минус синус 3 Пи x плюс 1 =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 3 Пи x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка синус 3 Пи x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 ко­си­нус 3 Пи x минус 1 =0, синус 3 Пи x минус 1 =0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 3 Пи x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус 3 Пи x = 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3 Пи x =\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, 3 Пи x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти .k при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x =\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств:

1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 рав­но­силь­но 9 минус 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1 плюс 6k мень­ше или равно 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 9 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 8 минус 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 6k мень­ше или равно 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 10 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше k мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но k=0.

Най­ден­но­му зна­че­нию k со­от­вет­ству­ет ко­рень дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби . Про­ве­рим сле­ду­ю­щую серию:

1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 рав­но­силь­но 9 минус 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно минус 1 плюс 6k мень­ше или равно 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 9 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 10 минус 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 6k мень­ше или равно 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 8 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше k мень­ше дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но k=0.

Най­ден­но­му зна­че­нию k со­от­вет­ству­ет ко­рень минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби . Про­ве­рим сле­ду­ю­щую серию:

1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 рав­но­силь­но 6 минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1 плюс 4k мень­ше или равно 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 6 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 5 минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 4k мень­ше или равно 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 7 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но минус 1 мень­ше k мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но k=0.

Най­ден­но­му зна­че­нию k со­от­вет­ству­ет ко­рень дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 475
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, Вве­де­ние вспо­мо­га­тель­но­го угла, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025