Дана пря­мая тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, дву­гран­ный угол приз­мы при ребре AA₁ равен 60°.

а)  До­ка­жи­те, что угол BA₁C₁ боль­ше угла BAC.

б)  Рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и BB₁ равно 5, а рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и CC₁ равно 8. Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой AA₁ до плос­ко­сти BC₁C.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна а вы­со­та SH пи­ра­ми­ды равна 3. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер CD и AB со­от­вет­ствен­но, а NT  — вы­со­та пи­ра­ми­ды NSCD с вер­ши­ной N и ос­но­ва­ни­ем SCD.

а)  До­ка­жи­те, что точка T яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной SM.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между NT и SC.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AA₁ и BC₁ равно рас­сто­я­нию между пря­мой и плос­ко­стью

б)  Най­ди­те это рас­сто­я­ние.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Грань ACC₁A₁ яв­ля­ет­ся квад­ра­том.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые CA₁ и AB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми CA₁ и AB₁, если AC  =  4, BC  =  7.

Рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и BB₁ пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равно 5, а рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и CC₁ равно 8. Дву­гран­ный угол приз­мы при ребре AA₁ равен 60°.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми BB₁ и CC₁ равно 7.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой AA₁ до плос­ко­сти BC₁C.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де PABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния ABCD равна 12, бо­ко­вое ребро PA ― Через вер­ши­ну A про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой PC и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро PC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит вы­со­ту PH пи­ра­ми­ды PABCD в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны P.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми PH и BK.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, все рёбра ос­но­ва­ния ко­то­рой равны Се­че­ние, про­хо­дя­щее через бо­ко­вое ребро AA₁ и се­ре­ди­ну M ребра B₁C₁, яв­ля­ет­ся квад­ра­том.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A₁B и AM равно длине пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из цен­тра этого квад­ра­та на пря­мую

б)  Най­ди­те это рас­сто­я­ние.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 6.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми AC и BC₁ равен 60°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и BC₁.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, все ребра ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 2. Се­че­ние, про­хо­дя­щее через бо­ко­вое ребро AA₁ и се­ре­ди­ну M ребра B₁C₁, яв­ля­ет­ся квад­ра­том.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A₁B и AM равно длине пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из цен­тра этого квад­ра­та на пря­мую

б)  Най­ди­те это рас­сто­я­ние.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра равны 1. На про­дол­же­нии от­рез­ка A₁C₁ за точку C₁ от­ме­че­на точка M так, что A₁C₁  =  C₁M, а на про­дол­же­нии от­рез­ка B₁C за точку C от­ме­че­на точка N так, что B₁C  =  CN.

а)  До­ка­жи­те, что MN  =  MB₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми B₁C₁ и MN.

Дана пи­ра­ми­да SABC, в ко­то­рой

а)  До­ка­жи­те, что ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру BC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между реб­ра­ми BC и SA.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MB и B₁C пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми MB и B₁C.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 9, а бо­ко­вое ребро SA  =  6. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но, причём AK : KB  =  SM : MC  =  2 : 7. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на пря­мой SA.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро SB в от­но­ше­нии 2 : 7, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KM.

Дан пра­виль­ный тет­ра­эдр MABC с реб­ром 1.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AL и MO, где L  — се­ре­ди­на ребра MC, O  — центр грани ABC.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 4, а бо­ко­вое ребро SA  =  8. На рёбрах CD и SC от­ме­че­ны точки N и K со­от­вет­ствен­но, причём DN : NC  =  SK : KC  =  1 : 3. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KN и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро AB в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны A.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KN.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти A₁BD и B₁D₁C па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между плос­ко­стя­ми A₁BD и B₁D₁C.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  5, AA₁  =  5, AD  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁B и B₁D пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A₁B и B₁D.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка O₁  — центр квад­ра­та ABCD, точка O₂  — центр квад­ра­та CC₁D₁D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁O₁ и B₁O₂ скре­щи­ва­ют­ся.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A₁O₁ и B₁O₂, если ребро куба равно 1.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре MNPQ через бис­сек­три­сы NA и QB гра­ней MNP и QNP про­ве­де­ны па­рал­лель­ные плос­ко­сти.

а)  Най­ди­те от­но­ше­ние суммы объ­е­мов от­се­ка­е­мых от MNPQ тет­ра­эд­ров к объ­е­му MNPQ

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между NA и QB, если ребро тет­ра­эд­ра равно 1.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точка К  — се­ре­ди­на ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED  =  1 : 2.

а)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми ВС и КЕ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми ВС и КЕ, если ребро тет­ра­эд­ра равно

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме АВСDEFА₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что точки F и С рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти ВЕD₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми ЕD₁ и FE₁.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  15 и BC  =  25. Бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны На реб­рах AD и BC от­ме­че­ны со­от­вет­ствен­но точки K и N так, что AK  =  CN  =  8. Через точки K и N про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ребру SB.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точку M  — се­ре­ди­ну ребра SB.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SD и KM.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Точка M  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁, точка N лежит на ребре AC, при­чем AN : NC  =  15 : 1. Катет AC в че­ты­ре раза боль­ше бо­ко­во­го ребра AA₁ приз­мы.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CA₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми MN и CA₁, если AC  =  16,

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды АВСD яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник АВС, длина сто­ро­ны ко­то­ро­го равна 4. Бо­ко­вое ребро CD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и имеет длину Пусть М  — се­ре­ди­на ребра ВС, а N  — се­ре­ди­на ребра АВ.

А)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми DM и СN равен 45°.

Б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми DM и СN.

Ос­но­ва­ние пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁  — тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB  =  AC  =  8, а один из углов равен 60°. На ребре AA₁ от­ме­че­на точка P так, что AP : PA₁  =  1 : 2. Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и B₁C₁ равно

а)  До­ка­жи­те, что ос­но­ва­ния высот тре­уголь­ни­ков ABC и PBC, про­ве­ден­ных к сто­ро­не BC, сов­па­да­ют.

б)  Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стя­ми ABC и CBP.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB  =  BC, На ребре BB₁ вы­бра­на точка K так, что BK : B₁K  =  2 : 3. Угол между плос­ко­стя­ми ABC и AKC равен 45°.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A₁C₁ равно бо­ко­во­му ребру приз­мы.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A₁C₁, если KC  =  8.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник ABC. На пря­мой AA₁ от­ме­че­на точка D так, что A₁  — се­ре­ди­на AD. На пря­мой B₁C₁ от­ме­че­на точка E так, что C₁  — се­ре­ди­на B₁E.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁B₁ и DE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и DE, если AB  =  4, а AA₁  =  1.

Точка Q сим­мет­рич­на вер­ши­не S пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD от­но­си­тель­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти SBC И QDA па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между плос­ко­стя­ми SВС и QDA, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD равна 2, а ее бо­ко­вое ребро равно

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ра­ми AB  =  BC  =  6, AA₁  =  12 точки M и K  — се­ре­ди­ны AB и BC со­от­вет­ствен­но, точка N лежит на ребре BB₁, при­чем BN  =  6. Через точку D про­ве­ли плос­кость α па­рал­лель­но плос­ко­сти KMN.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точки A₁ и C₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между плос­ко­стя­ми KMN и α.

Дан пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC. Точка D лежит вне плос­ко­сти ABC,

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AD и BC, если AC  =  6.

Ос­но­ва­ние ABCD пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD впи­са­но в ниж­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра, а вер­ши­на S рас­по­ло­же­на на оси ОО₁ ци­лин­дра (О₁  — центр верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра). Объем ци­лин­дра равен объем пи­ра­ми­ды равен 50.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между AS и CD, если диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB  =  BC и AC  =  16. На ребре BB₁ вы­бра­на точка F так, что Угол между плос­ко­стя­ми AA₁C и АFС равен

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A₁C₁ равно бо­ко­во­му ребру приз­мы.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A₁C₁, если FC  =  10.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, длина сто­ро­ны ко­то­ро­го равна Бо­ко­вое ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и имеет длину 2. Точки М и N  — се­ре­ди­ны ребер BC и AB со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми SM и CN равен 45°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между SM и CN.

На вы­со­те SO пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD взяли точку М так, что SM : MO  =  2 : 3. Через точку М па­рал­лель­но грани ADS про­ве­ли плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от пря­мой ВС до плос­ко­сти α от­но­сит­ся к рас­сто­я­нию между пря­мы­ми ВС и AS как 4 : 5.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой ВС до плос­ко­сти α, если все рёбра пи­ра­ми­ды равны 10.

Точка M  — се­ре­ди­на ребра BC па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁.

a)  До­ка­жи­те, что плос­кость AMB₁ па­рал­лель­на пря­мой A₁C.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мой A₁C и плос­ко­стью AMB₁, если па­рал­ле­ле­пи­пед пря­мо­уголь­ный, AB  =  12, AD  =  12 и AA₁  =  6.

Дана че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб ABCD со сто­ро­ной 10. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и SB.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы АВСА₁В₁С₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС с пря­мым углом С. Пря­мые СА₁ и АВ₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что АА₁  =  АС.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми СА₁ и АВ₁, если AC  =  8 и BC  =  4.

Ос­но­ва­ни­ем тре­уголь­ной приз­мы ABC₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной 1, а бо­ко­вое ребро равно Диа­го­наль бо­ко­вой грани A₁B пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны ВС.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АМ и A₁C пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A₁C и BC₁.

Дан ци­линдр с цен­тра­ми ниж­не­го и верх­не­го ос­но­ва­ний O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Объём ци­лин­дра, равен На окруж­но­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния вы­бра­ны точки А и В, а на бо­ко­вой по­верх­но­сти вы­бра­на, точка С, рав­но­удалённая от ос­но­ва­ний.

а)  До­ка­жи­те, что объём тет­ра­эд­ра O₁ABC не пре­вос­хо­дит

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AO₁ и CO₂, если от­рез­ки BO₂ и CO₁ пе­ре­се­ка­ют­ся, и

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S точки M и N се­ре­ди­ны ребер SC и AD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через пря­мую ВM па­рал­лель­но SN.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро CD в от­но­ше­нии 1 : 2.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой SN до плос­ко­сти α, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 12.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро равно 9, а вы­со­та пи­ра­ми­ды SO равна точки М и Т  — се­ре­ди­ны от­рез­ков BC и SM со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что АТ  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ная к грани SBC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми АT и SB.

Диа­го­на­ли BE и DF ос­но­ва­ния ABCDEF пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, а диа­го­на­ли FE₁ и EF₁ бо­ко­вой грани EFF₁E₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая QP па­рал­лель­на плос­ко­сти CB₁E₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мой QP и плос­ко­стью CB₁E₁, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равна а ее вы­со­та равна 4.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­ны точки M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и AD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁N и CM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между этими пря­мы­ми, если

Через вер­ши­ны A₁ и C пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой BC₁. Сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро AB по­по­лам.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой BC₁ до плос­ко­сти α.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды ABCD лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник АВС. Все бо­ко­вые ребра на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под одним и тем же углом.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АВ и CD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и CD, если

Ос­но­ва­ни­ем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник АВС со сто­ро­ной  Бо­ко­вое ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и равно 2. Точки E и D  — се­ре­ди­ны ребер ВС и AB со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что угол между SE и CD равен 45°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SE и CD.