СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 531022

В правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены параллельные плоскости.

а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров к объему MNPQ

б) Найдите расстояние между NA и QB, если ребро тетраэдра равно 1.

Решение.

а) Построим указанные плоскости. Через точку B проведём прямую параллельную NA тогда первое сечение BLQ. Очевидно, что QB — также медиана и высота, значит,

В грани PMN проведем медиану, высоту, биссектрису MB, S — точка пересечения MB и NA. В плоскости MBQ проведем прямую ST параллельную BQ (где тогда второе сечение NAT. Заметим, что

Вычислим:

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми NA и QB равно расстоянию между параллельными плоскостями NAT и BLQ. Найдем его, как высоту тетраэдра QANT, проведенную из вершины Q. Вычислим где — высота, проведенная из вершины A. Пусть H — высота тетраэдра PQM, тогда:

Вычислим теперь площадь треугольника NAT. Имеем:

Пусть, далее, тогда

откуда а Тем самым

Ответ: а) б)

 

Примечание.

Исходя из подобия треугольников и теорема о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол, определим отношение объёмов тетраэдров, имеющих равный трёхгранный угол:

Таким образом, отношение объёмов равно отношению произведений трёх рёбер, исходящих из вершины общего трёхгранного угла каждого тетраэдра.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 297.