СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 531306

В правильном тетраэдре ABCD точка К — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2.

а) Найдите угол между прямыми ВС и КЕ.

б) Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ, если сторона тетраэдра равна .

Решение.

а) Проведем через точку K прямую KL параллельную BC, где точка L лежит на AC. KL — средняя линия треугольника ABC. Угол между прямыми KE и ВС равен углу EKL, найдем его из треугольника KEL. Пусть O — проекция вершины D, E' — проекция точки E на прямую KC и пусть ребро тетраэдра равно a. Тогда

откуда

Вычислим высоту тетраэдра:

а значит,

Косинус угла EKL найдем, применяя теорему косинусов:

Следовательно,

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до плоскости, параллельной ей и проходящей через другую прямую. Таким образом, искомое расстояние между прямыми BC и KE равно расстоянию между точкой С и и плоскостью KEL (плоскость KEL — проходит через прямые KE и KL, где прямая KL параллельна BC). То есть искомое расстояние — высота hc тетраэдра CKEL, проведенная из вершины C.

Вычислим объем тетраэдра CKEL:

С другой стороны, где

Итак,

Ответ: а) б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 298.