а)  Про­ве­дем через точку K пря­мую KL, па­рал­лель­ную BC, где точка L лежит на AC. KL  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Угол между пря­мы­ми KE и ВС равен углу EKL, най­дем его из тре­уголь­ни­ка KEL. Пусть O  — про­ек­ция вер­ши­ны D, E'  — про­ек­ция точки E на пря­мую KC и пусть ребро тет­ра­эд­ра равно a. Тогда

от­ку­да

Вы­чис­лим вы­со­ту тет­ра­эд­ра:

а зна­чит,

Ко­си­нус угла EKL най­дем, при­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Таким об­ра­зом,

б)  Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию от одной из них до плос­ко­сти, па­рал­лель­ной ей и про­хо­дя­щей через дру­гую пря­мую. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое рас­сто­я­ние между пря­мы­ми BC и KE равно рас­сто­я­нию между точ­кой С и и плос­ко­стью KEL (плос­кость KEL  — про­хо­дит через пря­мые KE и KL, где пря­мая KL па­рал­лель­на BC). То есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние  — вы­со­та h_c тет­ра­эд­ра CKEL, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны C.

Вы­чис­лим объем тет­ра­эд­ра CKEL:

С дру­гой сто­ро­ны, где

Итак,

Ответ: а) б)