Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 520822

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 6.

а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC1 равен 60°.

б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.

Решение.

а) Прямые ВС1 и AD1 параллельны, поэтому угол между прямыми АС и ВС1 равен углу CAD1. Треугольник CAD1 равносторонний, поэтому все его углы равны 60°.

б) Заметим, что прямые АС и ВС1 содержатся в параллельных плоскостях ACD1 и BC1A1. Значит, искомое расстояние равно расстоянию между этими плоскостями.

Обозначим центры треугольников ACD1 и BC1A1 через точки О и О1 соответственно. Точка D равноудалена от вершин треугольника ACD1, поэтому проекция точки D на плоскость ACD1 совпадает с О. Аналогично проекция точки D на плоскость BC1A1 совпадает с О1, а проекции точки В1 на плоскости ACD1 и BC1A1 также совпадают с точками О и О1 соответственно. Значит, прямая DB1 перпендикулярна плоскостям ACD1 и BC1A1 и содержит точки О и О1.

Объем тетраэдра DACD1 равен 36, а площадь его основания S_{ACD_1}=AC в степени 2 умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 4 =18 корень из { 3}. Значит, высота DO=2 корень из { 3}. Аналогично B_1O_1=2 корень из { 3}. Кроме того, DB_1=AB корень из { 3}=6 корень из { 3}. Значит, OO_1=DB_1 минус B_1O_1 минус DO=2 корень из { 3}.

 

Ответ: б) 2 корень из 3 .

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 991 (C часть). Он же: вариант 751 (резервный день 25.06.2018), Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018
Классификатор стереометрии: Куб, Расстояние между скрещивающимися прямыми, Угол между прямыми