а)  Пря­мые ВС₁ и AD₁ па­рал­лель­ны, по­это­му угол между пря­мы­ми АС и ВС₁ равен углу CAD₁. Тре­уголь­ник CAD₁ рав­но­сто­рон­ний, по­это­му все его углы равны 60°.

б)  За­ме­тим, что пря­мые АС и ВС₁ со­дер­жат­ся в па­рал­лель­ных плос­ко­стях ACD₁ и BC₁A₁. Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию между этими плос­ко­стя­ми.

Обо­зна­чим цен­тры тре­уголь­ни­ков ACD₁ и BC₁A₁ через точки О и О₁ со­от­вет­ствен­но. Точка D рав­но­уда­ле­на от вер­шин тре­уголь­ни­ка ACD₁, по­это­му про­ек­ция точки D на плос­кость ACD₁ сов­па­да­ет с О. Ана­ло­гич­но про­ек­ция точки D на плос­кость BC₁A₁ сов­па­да­ет с О₁, а про­ек­ции точки В₁ на плос­ко­сти ACD₁ и BC₁A₁ также сов­па­да­ют с точ­ка­ми О и О₁ со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, пря­мая DB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­стям ACD₁ и BC₁A₁ и со­дер­жит точки О и О₁.

Объем тет­ра­эд­ра DACD₁ равен 36, а пло­щадь его ос­но­ва­ния Зна­чит, вы­со­та Ана­ло­гич­но Кроме того, Зна­чит,

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

а)  Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат:

Пусть φ   — угол между пря­мы­ми AC и BC₁. Имеем:

от­ку­да φ  =  60°.

б)  Рас­смот­рим плос­кость α, про­хо­дя­щую через AC и па­рал­лель­ную BC₁. Век­тор па­рал­ле­лен плос­ко­сти α, а зна­чит, пер­пен­ди­ку­ля­рен нор­ма­ли к ней. Пусть век­тор нор­ма­ли имеет ко­ор­ди­на­ты тогда от­ку­да Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек A и C в урав­не­ние плос­ко­сти по­лу­чим:

Тогда: Плос­кость α не про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, а по­то­му ко­эф­фи­ци­ент D можно по­ло­жить любым, от­лич­ным от нуля. Пусть тогда урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и BC₁ равно